反证法在高中数学解题中的妙用

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1、反证法在高中数学解题中的妙用　　【摘要】反证法是数学中应用较为常见的方法之一.在高中数学解题中，有一些题目用正面直接方法求解往往难度极大，且费时费力，运用反证法求解此类问题不仅能提高解题效率，还可以开发思维能力，从而提高综合数学的能力.本文从反证法的基本概述出发，阐明了反证法的理论基础和反证法解题的一般步骤，分析了反证法的应用范围，并针对具体的求解实例进行了反证法巧解的具体案例分析.　　【关键词】反证法；高中数学解题；适用范围；求解实例　　我们都知道，反证法是数学中应用较为常见的方法之一，尤其是在高中数学中应用更是广泛.数学的求解问题中，

2、有些题目，用正面方法进行直接求解通常难度较大且费时，让我们证明或者是求解时感到比较困难，在有限的考试时间内很不划算.而采用反证法则很容易解决.然而，高中教材中缺乏针对反证法原理的相关介绍和总结，现将做题中经常遇到的反证法进行归纳和阐述.　　一、反证法基本概述　　反证法又称背理法，是求解数学问题的一种常用论证方法.其基本原理为：首先假设原命题的反命题是正确的，并将假设条件作为求解和推理的基础，再根据已知的公式、定理和定义以及原题中的已知条件进行逻辑推理和运算，以推出假设与逻辑的矛盾，从而肯定原命题的正确性.　　通常，在棋类比赛中，有一种“弃

3、子取势”8的下棋策略，意思为：以牺牲某些棋子为代价，从而以获取优势.科学家哈代曾说，背理法是远远优胜和高超于任何一种棋术的策略.即使棋手牺牲几个棋子可能不会影响比赛结果，而数学家可以牺牲的是整个一盘棋.反证法和其相似，都是一种为了巧妙取胜的最了不起的策略.　　反证法即是要在假设命题的基础上进行推理认证，推出矛盾，推翻假设，从而证明原命题的正确.通常有以下几种较为明显的矛盾：　　（1）自相矛盾；（2）与假设相矛盾；（3）与题中所给条件相矛盾；（4）与定理、公式相矛盾；（5）与事实相矛盾.　　二、反证法的理论基础　　反证法是以人的逻辑思维为依

4、据的求解数学问题的方法.反证法的理论基础是逻辑思维规律中的两大规律，即“矛盾律”和“排中律”.这也间接说明了反证法是科学可信的.　　排中律：排中律表示A要么是B，要么不是B，而没有其他可能性，也不具备其他属性.排中律在一定程度上揭示了思维的规律，即通常来讲，一个命题要么为真，要么为假，而无其他可能性.其用符号表示为：P∨.　　矛盾律：矛盾律又称不矛盾律，是表示同一个目标不能同时得出两个矛盾的判断，换句话来讲就是，同一个命题不能既得出否定答案又得出肯定答案.矛盾律在某种程度上揭示了事物活动的规律性定律.矛盾律用符号表示为：P∧.　　三、反证

5、法解题一般步骤　　反证法的一般步骤是如下：　　首先，仔细审题，从题目中找出命题的条件和结论；8　　其次，将原命题进行否定转换，将题目中原有的条件和结论作为进一步推理的基础；　　再次，从假设出发，运用课本中的定义、定理、公式以及题目中的条件，再加以逻辑推理，证明出与假设相矛盾的结论；　　最后，肯定题目原有结论的正确性.　　反证法的根本目标题设原有命题的不正确，通过命题的否定转换，并在否定转换的基础上运用公式、定理等条件进行矛盾揭露，使矛盾显化，从而证明原有结论的正确.　　四、反证法的应用范围　　高中数学中反证法应用范围十分广泛，但是课本上并

6、未说明哪些题型适用用反证法，哪些题型该用反证法实际上并无特别规律可循，原则上来讲，因题而异，反证法的目标是简便解题步骤，缩短解题时间，实现巧解、便解的目的.当所给题目下面求解困难，或者正面求解步骤较多时，就当考虑使用反证法来求解.本文列举应用反证法求解的几个常见安全来具体说明反证法的应用.　　（一）否定性命题的证明　　如题目结论出现“没有...”、“不是...”、“不能”等字样的时候，通常正面直接证明不易入手，可以使用反证法来证明.　　例：证明：同一个三角形中不能同时出现两个钝角.　　已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角　　求证

7、：三个内角中不能同时存在两个钝角.　　证明：假设∠A，∠B，∠C三个内角中有两个内角为钝角，不妨假设∠8B>90°，∠C>90°，则∠B+∠C>180°，显然与三角形的内角等于180°相矛盾，因而，假设不成立，也即∠A，∠B，∠C中不可能同时存在有两个钝角存在.　　（二）唯一性命题的证明　　通常在几何图形中要证明符合条件的图形有且只有一个时，即要求证明几何图形的“唯一性”，此类命题使用反证法证明更简单.　　例：证明：一个圆只有一个圆心.　　分析：此命题为唯一性命题，可用反证法证明.　　证明：假设此圆有两个圆心A和B，在圆内任意作一条弦CD

8、，并取CD的中点M，连接OM、AM，则OM、CD、AM、CD，过直线CD上的一点M有OM和AM两条直线与其垂直，这与经过一点有且只有一条直线与已知直线相垂直的结论相悖，故假设不成立，也即证明了