平面应力问题新型广义有限元法

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1、平面应力问题新型广义有限元法　　摘要：结合广义有限元和理性有限元的优势，针对平面应力问题提出一种新型广义四边形单元.该单元考虑泊松效应，以节点位移自由度约束弹性力学平面应力方程的半解析解，构造单元位移模式的附加项，较准确地反映真实位移场，提高单元的计算精度.推导新型广义单元及其等参单元的形函数公式，设计分片试验和数值算例验证单元的精度.数值算例结果表明：在规则网格和非规则网格下新单元的计算精度均优于传统有限元和广义有限元.新单元具有精度高且易于程序实现的特点，可推广应用到实际工程的结构分析中.　　关键词：平面四边形单元；等参元；平面应力；广义有限元；形

2、函数；分片试验　　中图分类号：O242.21文献标志码：A　　0引言　　有限元法的基本思想是在力学模型上将一个原来连续的物体离散为有限个单元，对每个单元选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按能量原理（变分原理）建立单元节点力和节点位移之间的关系，最后将所有单元集成并求解节点的位移.[1]15　　传统线性有限元直接以数学为基础采用双线性多项式构造形函数，其位移模式既没有考虑弹性力学控制方程，也不能反映不同自由度间位移的相互影响，单元精度较低.为改善计算精度，20世纪90年代钟万勰院士团队研发理性有限元，核心思想是从弹性力学出发建立位移模式，其

3、插值函数的各项均来源于弹性力学精确解，有着明确的物理意义[27]，但理性有限元形函数繁复，给实际操作带来很大困难[89].近年来，张洪武教授团队在理性有限元的基础上发展广义有限元方法，核心思想是改变传统有限元只利用单元节点同方向自由度的位移构造方式，而以单元所有节点自由度来构造单元位移[1011]，其位移模式沿用传统有限元的多项式插值函数，未考虑弹性力学控制方程.　　本文针对平面应力问题，提出一种新型广义四边形单元，综合考虑理性有限元和广义有限元的优势，从弹性力学平面应力方程出发建立形函数，并在不改变单元自由度的情况下为形函数引入位移附加项，提高单元计

4、算精度.该新单元只在传统有限元形函数基础上增加位移附加项，程序操作简单易于实现.　　1平面应力新型广义四边形单元　　1.1一般单元　　传统平面矩形单元为4个节点八自由度，见图1.　　图1标准的平面四边形单元　　Fig.1Standardplanequadrilateralelement　　用4个节点位移表达的位移模式为　　u=N1uI+N2uJ+N3uK+N4uL　　v=N1vI+N2vJ+N3vK+N4vL　　（1）其中，插值函数为双线性函数，N1=（1-ξ）（1-η）/4　　N2=（1+ξ）（1-η）/415　　N3=（1+ξ）（1+η）/4　　N

5、4=（1-ξ）（1+η）/4（2）该形函数的构造局限于数学层面，位移模式只包含节点同方向自由度，计算精度较低.　　由弹性力学理论的泊松效应可知，一个方向的变形将引起另一个方向的位移.设计开发新型平面四边形单元，考虑弹性体的泊松效应，由单元的所有自由度构造单元位移模式，即单元内任意一点的位移分量不仅与4个节点位移分量方向的节点自由度相关，而且与4个节点处位移分量方向正交的节点自由度相关.该开发思想与广义有限元[1011]一致，区别是在建立形函数时进一步借鉴理性有限元思想，在传统有限元位移模式的基础上，根据节点位移自由度约束弹性力学平面应力方程，确定单元位

6、移模式的附加项.新平面四边形单元的位移模式既考虑节点上所有的自由度，又考虑弹性力学控制方程，能较准确反映真实位移场，因此可能有更高的计算精度.以下针对平面应力情况进行形函数构造.　　对于式（1），节点自由度确定的单元节点边界条件为u（-1，-1）=uI，u（1，-1）=uJ，　　u（1，1）=uK，u（-1，1）=uL　　v（-1，-1）=vI，v（1，-1）=vJ，　　v（1，1）=vK，u（-1，1）=vL（3）为考察一个自由度对另一自由度位移的影响，以第1个节点的x方向自由度u1为例，分析其他节点自由度固定、仅在节点I施加x方向位移uI时对y方向

7、位移的贡献.满足图1节点位移的条件表达式为u1（-1，-1）=uI　　u1（1，-1）=u1（1，1）=u1（-1，1）=015　　v1（-1，-1）=v1（1，-1）=v1（1，1）=　　v1（-1，1）=0（4）线弹性平面应力问题的齐次位移平衡微分方程为　　22ux2+（1-μ）2uy2+（1+μ）2vxy=0　　（1-μ）2vx2+22vy2+（1+μ）2uxy=0　　（5）取满足式（4）第一行方程的形函数基为u1（x，y）=uI（1-x）（1-y）/4（6）将式（6）代入式（5）的第1个方程得2v1xy=0（7）将式（6）代入式（5）的第2个方

8、程且考虑节点边界条件得（1-μ）2v1x2+22v1y2+（1+μ）14uI=0　　v1（-1