广义平面应变问题

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1、阅广义平面应变问题吴振业
中国矿亚大学建筑系提要一般情况下平面应变问题归结为一个双调和方#为与轴向荷载分布有关的量!几何方程如、一个、程调和方程及轴向应变应满足平面坐标的口“口少。、,一旦理一&,!∀#!了∃∀%∀%∀%%!,一一线性函数条件下的求解进一步分析证明轴向载荷(&口∀、的线性分布必须是函数类问题都能按广义平面刁“加一旅妙矢刁留!”∃十
∋,∗应变公式进行分析合一口’)+关往词广义平面应变、经典平面应变!了丫∋!平面应变问月的提法空间问题六个协调方程简化为,户平面问题的提出由来

2、已久近些年来深人兰、!,−‘、空,3塑‘4旦一,垫.的研究使这一经典概念趋子完善应用条件更口∀,,∀&&口。‘∗￡6￡6￡明确口55“、一
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玉一万尹∃百牙丙2/0任何一个弹性力学问题归根结底是空间问−,,一1题所谓平面问题只是空间问题的一种简化或夕孙价。)粤∀忽略代些次要因素的近似形式!舀食+)8+,,75−一1平面应变是专指物体的几何形状和外载荷+∀、&瓷分布沿长轴方向不变化并可视为无限长的一、、0,一)∀,9:;!!,容易证明93:夕3;+<%类问题图−可作为一般示例可以认为

3、蚕,为任意常数可同时满足式中第二式三个等式=、,的要求第三四两式可归并为一个方程而将问题的协调方程)8+式以简洁、明确的形式表达为全五,3全‘一口,丫二,苦(,5∀&、>口,移。∃)9∀3:3?+<石)≅+兰处。∃鱼立二>&平衡方程较之经典平面应变问题增加一剪,,二‘,应力与,的平衡直于轴任意两个截面上的变形状态都相同介,,!同一平面上各点应变和位移的轴向分量可以不鱼丛35里一2。,口ΑΒΧ当Δ不为零时相当干对任意形状的柱体!,,,∀,加轴向荷载因此物休内任一点)(+的取9Β,应力函数为甲)约

4、及另一应力函数∀,,口位移除是的函效之外轴向位移还与基准∀,,,&必>必Γ八必)+使∃一∀”Η“一‘网儿王面的逃取有关!即口万歹!#(3∀,,∋部三个平衡方程这就是材料在包括非线性、ΕΦ,)+)+!奇,Ι决衰,平面应变问∋签本类妞!Μ一ΝΚ
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一犷钾−外载荷基本方程解的应力分盆卜∋、,、+、(一、(,)调和方程口∗#一,、,,一、#一−./0夕/1
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5、5∋一⋯一一口、口一、∗一、,一!异性及非均质情况下平面应变问题的一一般性提向载荷Ο所产生应变之和各分量可对应迭。力!一法口、、,在均质各向同性线弹性情况下应用虎‘‘,￡,,,￡,￡一Π,,一∃3∃3!,克定律还可将协调方程用应力函数表示‘∃‘3滚)Ρ+∗二∗!,二,一3,一。与第三式结果无关其中)黑黑丫‘一Θ>劣>,二.〔口)。,3。,,−尹,,∃)才∀3/3?+<%)Σ+一会一∗。,。,。二。二二,一3‘一。一【)3+〕)豁勤告一⋯5。·‘‘3、+⋯构成了平面应变问题的

6、基本方程三两个应力函一贵一))Υ+、,数分别满足一个双调和方程一个单调和方程沙ΟΚ,!‘,一,‘,,的线性函数在符合问Ι轴向应变满足为1一万Ο∃一云Δ!电题给定边界条件下问题得以定解!解的六个应,力分量可以皆不为零!:‘∃李七以下讨论任意常数9、:!?!的确定。一,注意到经典平面应变的定义有。即任乞平面应变问题的墓本类型、,、二,!一截面在ΔΔΔ作用下变形后仍为平面无,论具体问题的形式与求解过程如何)Σ+利用)Ρ+)Υ+及),+式第二式可得到!、式中第。,,一式的求解只能给出5∀,∀三个分

7、。∀、!Ο∃才3:3?)Π+量,且仅ΟΟ,Ο,,依照外载荷为常数定解但,!是表明一般情况下平面应变问题限定为轴向载由于轴向的约束还将诱发轴向应力分量几∀、!第三式是一独立方程,反映与横截面正交荷为是的线性函数类问题的两平向上物休形状的改变!轴向应力分量的解为其定解赖于外载!!、,、!二!。5!、,,。二。,,3Ο∃)3,+Ος荷巧Δ!解得两个分量一3)+!第二式是总的轴向应变的应满足的条件,⋯依照外载荷的可能情况及其基本方程将Σ!由Τ体积应变为)+式第一式产生的应变与轴平面应变列为表−

8、所述的五种类型,,表中所列各类型后者为前者的特殊愉,力分最全不为零为三维应力分析方法;经典平∋4,况第类为常用的经典平面应变问题第:8∋面应变为其特何类文献〔9,称之为广义平面应变;文献梦0?∗Α>后+∗2)∋,ΙΠ,。ΧΟ
,ΙϑΔΚ石‘∗‘梦∀!∀∀Α+>≅≅∀#!!Λ>∃Λ+>∀一∀+≅ΒΑΒΑΘ广义平面应变问题在岩石力学中极其广Ρ#+1ΡΡ心Ρ器>Β%(!∗∀∀≅