高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题4 立体几何 突破点12 立体几何中的向量方法专题限时集训 理

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1、系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。专题限时集训(十二)　立体几何中的向量方法[建议用时：45分钟]1．(2016·北京高考)如图1210，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.图1210(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．[解]　(1)证明：因

2、为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.2分又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.4分(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.5分如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1).6分设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2).8分通过党课

3、、报告会、学习讨论会等多种形式，组织党员读原著、学原文、悟原理，进一步掀起学习贯彻新高潮，教育引导广大党员更加自觉用习近平新时代中国特色社会主义思想武装头脑、指导实践、推动工作。系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.10分(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得＝λ.11分因此点M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).12分因为BM⊄平面PCD，所

4、以要使BM∥平面PCD当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.14分2．(2016·四川高考)如图1211，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.图1211(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【导学号：67722045】[解]　(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图(1)，延长AB，DC，相交于点M(M

5、∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.2分(1)理由如下：由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，通过党课、报告会、学习讨论会等多种形式，组织党员读原著、学原文、悟原理，进一步掀起学习贯彻新高潮，教育引导广大党员更加自觉用习近平新时代中国特色社会主义思想武装头脑、指导实践、推动工作。系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。从而CM∥EB.4分又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.6分(说明：延长AP至点

6、N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，所以∠PDA是二面角PCDA的平面角，所以∠PDA＝45°.7分设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.如图(1)，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE，于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.9分过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE，所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝.在Rt△PAH中，PH＝＝，所以si

7、n∠APH＝＝.12分法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角PCDA的平面角，所以∠PDA＝45°.又PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD.7分设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2，作Ay⊥平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(