正文描述:《2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何专题限时集训10立体几何中的向量方法理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题限时集训(十) 立体几何中的向量方法(对应学生用书第97页)(限时:40分钟)题型1 向量法求线面角1题型2 向量法求二面角2,4题型3 利用空间向量求解探索性问题31.(2017·郑州二模)如图109,三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.图109(1)证明:EF∥平面A1CD;(2)若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱,求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.[解] (1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,AC∥A1C1,且AC=A1C1
2、,连接ED,在△ABC中,因为D,E分别为棱AB,BC的中点,所以DE∥AC,DE=AC.又F为A1C1的中点,可得A1F=A1C1,所以A1F∥DE,A1F=DE,因此四边形A1FED为平行四边形,所以EF∥A1D,又EF⊄平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,所以EF∥平面A1CD.(2)法一:(几何法)因为底面ABC是正三角形,D为AB的中点,所以CD⊥AB,又AA1⊥CD,AA1∩AB=A,所以CD⊥平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内,过点B作BG⊥A1D,交直线A1D于点G,连接
3、CG,则BG⊥平面A1CD,所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角.设三棱柱的棱长为a,可得A1D=,由△A1AD∽△BGD,可得BG=,在Rt△BCG中,sin∠BCG==.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二:(向量法)设A1B1的中点为O,连接OC1,OD,因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱,所以OD⊥平面A1B1C1,所以OD⊥OC1,OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形,所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所
4、示的空间直角坐标系Oxyz.设三棱柱的棱长为a,则O(0,0,0),B,C,A1,D(0,a,0).所以=,=,=.设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),由,得.设x=2,解得n=(2,1,0).设直线BC与平面A1CD所成的角为θ,则sinθ===.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.2.(2017·合肥二模)如图1010(1),在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点E为AD的中点,沿BE将△ABE折起至△PBE,如图2所示,点P在平面BCDE上的射影O落在BE上.图1010(
5、1)图1010(2)(1)求证:BP⊥CE;(2)求二面角BPCD的余弦值.【导学号:07804077】[解] (1)证明:因为点P在平面BCDE上的射影O落在BE上,所以平面PBE⊥平面BCDE,易知BE⊥CE,所以CE⊥平面PBE,而BP⊂平面PBE,所以PB⊥CE.(2)以O为坐标原点,以过点O且平行于CD的直线为x轴,过点O且平行于BC的直线为y轴,直线PO为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B,C,D,P.所以=(-1,0,0),=,=,=(0,2,0).设平面PCD的法向量为n1
6、=(x1,y1,z1),则有,即,令z1=,可得n1=.设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则,即,令z2=,可得n2=(2,0,).所以cos〈n1,n2〉==.考虑到二面角BPCD为钝角,则其余弦值为-.3.(2017·郑州三模)如图1011,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=,四边形ACFE为矩形,且CF⊥平面ABCD,AD=CD=BC=CF.图1011(1)求证:EF⊥平面BCF;(2)点M在线段EF上运动,当点M在什么位置时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大
7、,并求此时二面角的余弦值.[解] (1)证明:在梯形ABCD中,设AD=CD=BC=1,∵AB∥CD,∠BCD=,∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos=3.∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.∵CF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥CF,而CF∩BC=C,∴AC⊥平面BCF.∵四边形ACFE是矩形,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BCF.(2)由(1)知,以CA,CB,CF所成直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AD=CD=BC=CF=1,令F
8、M=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),∴=(-,1,0),=(λ,-1,1),设平面MAB的法向量为n1=(x,y,z),则,即,令x=1,则n1=(1,,-λ),为平面MAB的一个法向量.易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ,则cosθ===.∵0≤λ≤,∴当λ=0时,cosθ有最小值,∴点M与点F重合时,平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大,此时二面角的余弦值为.4.(2017·河北
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