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《高考数学（浙江专版）二轮复习与策略专题10立体几何中的向量方法专题限时集训含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题限时集训(十)立体几何中的向量方法［建议用时:45分钟］［A组高考达标］一、选择题1.(2016-北京高考)如图10-11,在四棱锥PMBCD屮，平面刃D丄平面ABCD,P4丄PD,R4=PD,ABLAD,AB=ifAD=2,AC=CD=逅・图10・11(1)求证：PD丄平面丹2(2)求直线PB与平而PCD所成角的正弦值.(3)在棱丹上是否存在点M,使得〃平面PCD2若存在，求需的值；若不存在，说明理由.［解］(1)证明：因为平面刃D丄平面ABCD,ABA.AD,所以丄平面PAD.所以AB丄PD.2分又因为PA丄PD,所以PD丄平面PAB.4分
2、(2)取4D的中点O,连接PO,CO.因为R4=PD,所以尸O丄AD.乂因为POU平面PAD,平面丹D丄平面ABCD,所以PO丄平而ABCD.因为COU平面ABCD,所以PO丄CO.因为AC=CD,所以CO丄/ID如图，建立空间直角坐标系由题意得,/(0丄0),5(1,1,0),C(2,0,0),D(0,—1,0),P(0,0,l).6分设平面PCD的法向量为n=(x,〃z),贝I」厂—►nPD=0，<—AJI-PC=O，[—y—z—Q‘即〔2%_z=0.令z=2,则x=l,y=—2.所以w=(l,-2,2).8分~~QD又PB=(1,1,-1),
3、所以cos5,PB)=——\PB10分11分12分所以直线PB与平而PCD所成角的正弦值为⑶设M是棱刃上一点,则存在久曰0,1］使得因此点M(0,l—几2),BM=(-lf-A,A).因为平面PCD,所以要使〃平面PCD当且仅当W/i=0,即（一1,一2,2）.（1,一2,2）=0.解得A=
4、.所以在棱丹上存在点M使得〃平面PCD,此时第=£15分2.（2016-四川高考）如图10-12,在四棱锥P/BCZ）中fAD//BC,ZADC=ZR4B=90。，BC=CD=》D,E为棱的中点，异面直线丹与CD所成的角为90。・p图10-12(1)在
5、平面丹B内找一点M,使得直线CM〃平面PBE,并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的止弦值.【导学号：58962045］［解］(1)在梯形/BCD中，与CD不平行.如图⑴，延长血，DC,相交于点M(MW平面丹B),点M即为所求的一个点.2分(1)理由如下：由已知，BC//ED,且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM〃EB4分乂EBU平面PBE,CMQ平面PBE,所以CM〃平面PBE.6分(说明：延长/尸至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一：由已知，CD丄
6、刊，CQ丄AD,PAHAD=A,所以CD丄平面PAD,从而CD丄PD,所以ZPDA是二面角P-CD-A的平面角，所以ZPDA=45°.7分设5C=1,则在RtA7?4D中，R4=AD=2.如图(1),过点/作丄CE,交CE的延长线于点H,连接FH,易知丹丄平面ABCD,从而R4丄CE,于是CE丄平面R4H.所以平面PCE丄平面PAH.II分过/作丄M于0,则丄平面PCE,所以ZAPH是丹与平面PCE所成的角.J2在Rt^AEH中，Z4EH=45。,AE=,所以昇丹=专.在Rt^PAH中，PH=I関+血=呼,AH1所以sinZAPH=^^=y15
7、分法二：由已知，CD丄丹，CD丄AD,PAHAD=Af所以CD丄平面PAD,亍是CDLPD.从而ZPDA是二面角P-CD-A的平面角，所以ZPDA=45°.又刊丄AB,所以丹丄平面ABCD.7分设BC=1,则在Rt△丹D中，PA=AD=2,作金丄平面PAD,以/为原点,以z/D/P的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系A^xyz,贝打(0。0),7WX2)，⑵所以PE=(l,0,-2),EC=(l,l,0),设平面PCE的法向量为n=(x,y,〃=(0,0,2).z)，n-PE=0，得—►ji-EC=0，x-2z=0，x
8、+y=0.设x=2,解得w—(2,—2,1).设直线刊与平面PCE所成角为a,12分所以直线刊与平面PCE所成角的正弦值为令15分3.(2016-石家庄一模)在平面四边形4CBD(如图10-13(1))^,AABC与N4BD均为直角三角形且有公共斜边力3,设AB=2,ZBAD=30°,Z^C=45°,^AABC沿M折起，构成如图10・13⑵所示的三棱锥C'-ABD,且使C‘D=也.图10-13(1)求证：平面C'丄平面D4B；(2)求二面角A-CD-B的余弦值.【导学号：58962046][解](1)证明：取的中点O,连接C‘O,D0,在RtZ/
9、C'B,RtN4DB中，AB=2,CO=DO=.又・・CD=y[i,:.CfO2+DO2=CfD1,即C，O丄OD2分又
