奥数:第四讲数与形相映

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1、第四讲数与形相映形和数的密切关系,在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.例1最初的数和最简的图相对应.1和·(点)2和(线:两点连成一条直线)3和(平面:三点确定一个平面)4和(立体:不在同一平面上的四个点构成一个四面体)这是古希腊人的观点,他们说一切几何图形都是由数产生的.例2我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数,而且还区分了偶数和奇数,偶数用实心点表示,奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示,这个图又叫九宫图.例3古希腊数学家毕达哥拉斯发现

2、了“形数”的奥秘.比如他把l,3,6,10,15,…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形,见下图.毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律,发现每一个三角形数,都可以写成从1开始的行个自然数之和,最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.第一个数:1=1第二个数:3=1+2第三个数:6=1+2+3第四个数:10=1+2+3+4第五个数:15=1+2+3+4+5…第n个数:1+2+3+4+5+…+n可见,第n个三角形数一丛等掣,根据这个公式可以写出任意一个指定的三角形数.比如第100个三角形数是:例4毕达哥拉斯还发现了四角形

3、数,见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形,因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇.第一个数:l=1-1第二个数:4=2=1+3第三个数:9=3=1+3+5第四个数:16=4=1+3+5+7第五个数:25=5=1+3+5+7+9…第n个数:n=1+3+5+9+…+(2n-1).四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方,也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.例5类似地,还有四面体数见下图.仔细观察可发现,四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相

4、加得到:第一个数:1第二个数:4=1+3第三个数:10=1+3+6第四个数:20=l+3+6+10第五个数:35=1+3+6+10+15.例6五面体数,见下图.仔细观察可以发现,五面体的每一层的圆点个数都是四角形数,因此五面体数可由几个四角形数相加得到:第一个数:1=1第二个数:5=1+4第三个数:14=l+4+9第四个数:30=l+4+9+16第五个数:55=1+4+9+16+25.例7按不同的方法对图中的点进行数数与计数,可以得出一系列等式,进而可猜想到一个重要的公式.由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关

5、系.方法l:先算空心点,再算实心点:2+2×2+1.方法2:把点图看作一个整体来算3.因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:2+2×2+1=3.方法1:先算空心点,再算实心点:3+2×3+1.方法2:把点图看成一个整体来算:4.因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:3+2×3+1=4.方法1:先算空心点,再算实心点:4+2×4+1.方法2:把点图看成一个整体来算5.因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:把上面的几个等式连起来看,进一步联想下去,可以猜到一个一般的公式:…利用这个公式,也可用于速算与巧算.如:

6、9+2×9+1=(9+1)=10=10099+2×99+1=(99+1)=100=10000.习题四1.第25个三角形数是几?2.第50个三角形数是几?3.第1000个三角形数是几?4.三角形数的奇偶性是很有规律的,1,3,6,10,15,2l,28,36,…奇奇偶偶奇奇偶偶想一想,这是为什么?5.观察下列图形,你能发现什么?6.第99个与第100个三角形数的和等于多少?7.每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如,100是哪两个三角形数的和?8.第8个三角形数恰是第6个四角形数,因为你还能

7、试着找到一个这样的例子吗?(这事比较困难)9.请你试着画一画五角形数和六角形数的图形.并试着把第,n个五(六)角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式.10.写出前10个四面体数.11.写出前10个五面体数.12.按不同的方法对下图中的点进行数数与计数,得出一系列等式,进而猜想出一个公式来,从中体会数与形之间的微妙关系.如:方法l:先算空心点,再算实心点,得:方法2:把点图看成一个整体来算,得:因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:请你照此继续做下去.(可参考本讲例7)13.模仿例7,用不同的方法分别对下两

8、图中的点进行数数与计数,先得出一系列等式,进而猜想出一个重要的公式.习题四解答1.解:1+2+3+…+25=(1+25)×25÷2=325.2.解:1+2+3+…+50=(1+50)×50÷2=1275.3.解:1+2+3+…+1000=(1+1000)×1000÷2=500500.4.解:观察前几个三角形数的构成,就可以发现其中

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1、第四讲数与形相映形和数的密切关系,在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.例1最初的数和最简的图相对应.1和·(点)2和(线:两点连成一条直线)3和(平面:三点确定一个平面)4和(立体:不在同一平面上的四个点构成一个四面体)这是古希腊人的观点,他们说一切几何图形都是由数产生的.例2我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图).图中也是用“圆点”表示数,而且还区分了偶数和奇数,偶数用实心点表示,奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示,这个图又叫九宫图.例3古希腊数学家毕达哥拉斯发现

2、了“形数”的奥秘.比如他把l,3,6,10,15,…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形,见下图.毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律,发现每一个三角形数,都可以写成从1开始的行个自然数之和,最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.第一个数:1=1第二个数:3=1+2第三个数:6=1+2+3第四个数:10=1+2+3+4第五个数:15=1+2+3+4+5…第n个数:1+2+3+4+5+…+n可见,第n个三角形数一丛等掣,根据这个公式可以写出任意一个指定的三角形数.比如第100个三角形数是:例4毕达哥拉斯还发现了四角形

3、数,见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形,因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇.第一个数:l=1-1第二个数:4=2=1+3第三个数:9=3=1+3+5第四个数:16=4=1+3+5+7第五个数:25=5=1+3+5+7+9…第n个数:n=1+3+5+9+…+(2n-1).四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方,也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.例5类似地,还有四面体数见下图.仔细观察可发现,四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相

4、加得到:第一个数:1第二个数:4=1+3第三个数:10=1+3+6第四个数:20=l+3+6+10第五个数:35=1+3+6+10+15.例6五面体数,见下图.仔细观察可以发现,五面体的每一层的圆点个数都是四角形数,因此五面体数可由几个四角形数相加得到:第一个数:1=1第二个数:5=1+4第三个数:14=l+4+9第四个数:30=l+4+9+16第五个数:55=1+4+9+16+25.例7按不同的方法对图中的点进行数数与计数,可以得出一系列等式,进而可猜想到一个重要的公式.由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关

5、系.方法l:先算空心点,再算实心点:2+2×2+1.方法2:把点图看作一个整体来算3.因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:2+2×2+1=3.方法1:先算空心点,再算实心点:3+2×3+1.方法2:把点图看成一个整体来算:4.因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:3+2×3+1=4.方法1:先算空心点,再算实心点:4+2×4+1.方法2:把点图看成一个整体来算5.因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:把上面的几个等式连起来看,进一步联想下去,可以猜到一个一般的公式:…利用这个公式,也可用于速算与巧算.如:

6、9+2×9+1=(9+1)=10=10099+2×99+1=(99+1)=100=10000.习题四1.第25个三角形数是几?2.第50个三角形数是几?3.第1000个三角形数是几?4.三角形数的奇偶性是很有规律的,1,3,6,10,15,2l,28,36,…奇奇偶偶奇奇偶偶想一想,这是为什么?5.观察下列图形,你能发现什么?6.第99个与第100个三角形数的和等于多少?7.每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如,100是哪两个三角形数的和?8.第8个三角形数恰是第6个四角形数,因为你还能

7、试着找到一个这样的例子吗?(这事比较困难)9.请你试着画一画五角形数和六角形数的图形.并试着把第,n个五(六)角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式.10.写出前10个四面体数.11.写出前10个五面体数.12.按不同的方法对下图中的点进行数数与计数,得出一系列等式,进而猜想出一个公式来,从中体会数与形之间的微妙关系.如:方法l:先算空心点,再算实心点,得:方法2:把点图看成一个整体来算,得:因为点数不会因计数方法不同而变,所以得出:请你照此继续做下去.(可参考本讲例7)13.模仿例7,用不同的方法分别对下两

8、图中的点进行数数与计数,先得出一系列等式,进而猜想出一个重要的公式.习题四解答1.解:1+2+3+…+25=(1+25)×25÷2=325.2.解:1+2+3+…+50=(1+50)×50÷2=1275.3.解:1+2+3+…+1000=(1+1000)×1000÷2=500500.4.解:观察前几个三角形数的构成,就可以发现其中

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