奥数：第四讲 数与形相映

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1、第四讲数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．例1最初的数和最简的图相对应．1和·(点)2和(线：两点连成一条直线)3和(平面：三点确定一个平面)4和(立体：不在同一平面上的四个点构成一个四面体)这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．例2我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图)．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗?见下图所示，这个图又叫九宫图．例3古希腊数学家毕达哥拉斯发现

2、了“形数”的奥秘．比如他把l，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的行个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数．第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5…第n个数：1+2+3+4+5+…+n可见，第n个三角形数一丛等掣，根据这个公式可以写出任意一个指定的三角形数．比如第100个三角形数是：例4毕达哥拉斯还发现了四角形

3、数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第一个数：l=1－1第二个数：4=2=1+3第三个数：9=3=1+3+5第四个数：16=4=1+3+5+7第五个数：25=5=1+3+5+7+9…第n个数：n=1+3+5+9+…+(2n－1)．四角形数(又叫正方形数)可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数．例5类似地，还有四面体数见下图．仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数．因此四面体数可由几个三角形数相

4、加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=l+3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15．例6五面体数，见下图．仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=l+4+9第四个数：30=l+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25．例7按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关

5、系．方法l：先算空心点，再算实心点：2+2×2+1．方法2：把点图看作一个整体来算3．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2+2×2+1=3．方法1：先算空心点，再算实心点：3+2×3+1．方法2：把点图看成一个整体来算：4．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：3+2×3+1=4．方法1：先算空心点，再算实心点：4+2×4+1．方法2：把点图看成一个整体来算5．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：…利用这个公式，也可用于速算与巧算．如：

6、9+2×9+1=(9+1)=10=10099+2×99+1=(99+1)=100=10000．习题四1．第25个三角形数是几?2．第50个三角形数是几?3．第1000个三角形数是几?4．三角形数的奇偶性是很有规律的，1，3，6，10，15，2l，28，36，…奇奇偶偶奇奇偶偶想一想，这是为什么?5．观察下列图形，你能发现什么?6．第99个与第100个三角形数的和等于多少?7．每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如，100是哪两个三角形数的和?8．第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能

7、试着找到一个这样的例子吗?(这事比较困难)9．请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第，n个五(六)角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式．10．写出前10个四面体数．11．写出前10个五面体数．12．按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：方法l：先算空心点，再算实心点，得：方法2：把点图看成一个整体来算，得：因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：请你照此继续做下去．(可参考本讲例7)13．模仿例7，用不同的方法分别对下两

8、图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．习题四解答1．解：1+2+3+…+25=(1+25)×25÷2=325．2．解：1+2+3+…+50=(1+50)×50÷2=1275．3．解：1+2+3+…+1000=(1+1000)×1000÷2=500500．4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中