二年级数学 奥数讲座 数与形相映

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1、二年级数与形相映　　形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了。古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子。　　例1最初的数和最简的图相对应。　　　　这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的。　　例2我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）。图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示。你能把这张图用自然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图。　　例3古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘。比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数。因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图。　　毕达哥拉斯还从圆

2、点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数。　　第一个数：1=1　　第二个数：3=1+2　　第三个数：6=1+2+3　　第四个数：10=1+2+3+4　　第五个数：15=1+2+3+4+5　　…　　第n个数：1+2+3+4+5+…+n指定的三角形数。比如第100个三角形数是：　　例4毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图。因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇。　　第一个数：1=12=1　　第二个数：4=22=1+3　　第三个数：9=32=1+3+5　　第四个

3、数：16=42=1+3+5+7　　第五个数：25=52=1+3+5+7+9　　…　　第n个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）。　　四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和。奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数。　　例5类似地，还有四面体数见下图。　　仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数。因此四面体数可由几个三角形数相加得到：　　第一个数：1　　第二个数：4=1+3　　第三个数：10=1+3+6　　第四个数：20=1+3+6+10　　第五个数：35=1+3+6+10+15。　　例6五

4、面体数，见下图。　　仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：　　第一个数：1=1　　第二个数：5=1+4　　第三个数：14=1+4+9　　第四个数：30=1+4+9+16　　第五个数：55=1+4+9+16+25。　　例7按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式。由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系。　　方法1：先算空心点，再算实心点：　　22+2×2+1。　　方法2：把点图看作一个整体来算32。　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：　

5、　22+2×2+1=32。　　方法1：先算空心点，再算实心点：　　32+2×3+1。　　方法2：把点图看成一个整体来算：42。　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：　　32+2×3+1=42。　　方法1：先算空心点，再算实心点：　　42+2×4+1。　　方法2：把点图看成一个整体来算52。　　因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：　　42+2×4+1=52。　　把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：　　22+2×2+1=32　　32+2×3+1=42　　42+2×4+1=52　　…　　n2+2×n+1=（n+1）

6、2。　　利用这个公式，也可用于速算与巧算。　　如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100　　992+2×99+1=（99+1）2　　=1002=10000。