全国高中数学联合竞赛加试试卷

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1、2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。试证：（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。二、已知无穷数列

2、{an}满足a0=x，a1=y，，n=1、2、…。（1）对于怎样的实数x与y，总存在正整数n0，使当n0≥n时an恒为常数？（2）求数列{an}的通项公式。三、解方程组。2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′

3、0，交AB0的延长线于P′0。试证：（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。证明：（1）显然B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P1，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P′0分别相内切于点Q0、P1、Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+B0P′0。四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及P′0在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0P′0。从而可知点P′0与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0、圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同

4、一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。（2）现在分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1。连接P0Q1和P1Q1，得等腰三角形P0Q1R1和P1Q1S1。基于此，我们可由∠P0Q1P1=π−∠P0Q1R1−∠P1Q1S1=π−(∠P1P0T−∠Q1P0P1)−(∠P0P1T−∠Q1P1P0)而π−∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得，同理可得。所以四点P0、Q0、Q1、P1共圆。二、（本题满分50分）已知无穷数列{an}满足a0=x，

5、a1=y，，n=1、2、…。（1）对于怎样的实数x与y，总存在正整数n0，使当n0≥n时an恒为常数？（2）求数列{an}的通项公式。解：（1）我们有，n=1、2、…。（2.1）所以，如果对某个正整数n，有an+1=an，则必有(an)2=1，且an+an−1≠0。如果该n=1，我们得

6、y

7、=1且x≠−y。（2.2）如果该n>1，我们有，n≥2，（2.3）和，n≥2。（2.4）将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得，n≥2。（2.5）由（2.5）递推，必有（2.2）或

8、x

9、=1且y≠−x。（2.6）反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当n≥2时，必有an=常数，且常数是

10、1或－1。（2）由（2.3）和（2.4），我们得到，n≥2。（2.7）记，则当n≥2时，由此递推，我们得到，n≥2，（2.8）这里Fn=Fn−1+Fn−2，n≥2，F0=F1=1。（2.9）由（2.9）解得。（2.10）上式中的n还可以向负向延伸，例如F−1=0，F−2=1。这样一来，式（2.8）对所有的n≥0都成立。由（2.8）解得，n≥0。（2.11）式（2.11）中的F−1、F−2由（2.10）确定。三、（本题满分50分）解方程组。解：令p=x+z、q=xz，我们有p2=x2+z2+2q，p3=x3+z3+3pq，p4=x4+z4+4p2q−2q2。同样，令s=y+w、t

11、=yw，有s2=y2+w2+2t，s3=y3+w3+3st，s4=y4+w4+4s2t−2t2。在此记号系统下，原方程组的第一个方程为p=s+2。（3.1）于是p2=s2+4s+4，p3=s3+6s2+12s+8，p4=s4+8s3+24s2+32s+16。现在将上面准备的p2、p3、p4和s2、s3、s4的表达式代入，得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4，x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8，x4+z4+4p2q−2q2=y4+w4+4s2t−2t2+8s3