重积分曲线积分曲面积分

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1、重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数。对曲线作分割，它把分成个可求长度的小曲线段的弧长记为分割的细度为在上任取一点若极限存在，则称此极限值为在上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作。若为空间可求长曲线段，为定义在上的函数，则可类似定义在空间曲线上的第一型曲线积分，并且记为。性质：1.若存在，为常数，则也存在，且2.若曲线段由曲线首尾相接而成，且都存在，则也存在，且3.若与都存在，且在上则4.若存在，则也存在，且。5.若存在，的弧长为，则存在常数，使得=。

2、计算设有光滑曲线函数为定义在上的连续函数，则18。若曲线由方程表示，且在上连续可导，则例1.设是从到一段，试计算第一型曲线积分解例2.计算其中为球面被平面所截得的圆周。解由对称性知所以第二型曲线积分（对坐标）有向曲线：带有方向的曲线称为有向曲线，其正方向是指从起点到终点的方向。简单闭曲线的正方向是指逆时钟方向。定义：设函数与定义在平面有向可求长度曲线:上，对的任一分割，它把分成个小曲线段其中。记各小曲线段的弧长为，分割的细度又设的分点的坐标为，并记在每个小曲线段上任取一点，若极限存在，则称此极限为函数沿有向曲线上的第二型曲线积分（

3、对坐标），记为或。上述积分还可写作或。为方便，上述积分可简写成。若是闭曲线，上述积分可写成。若为空间有向可求长度曲线，为定义在18上的函数，则类似地可定义沿空间有向曲线上的第二型曲线积分，记为可简写成。注：第一型曲线积分与曲线的方向无关，第二型曲线积分与曲线的方向有关。性质：1.2.若存在，则也存在，且其中为常数。3.若有向曲线是由有向曲线首尾相接而成，且存在，则也存在，且计算：设平面曲线其中在上具有一阶连续导函数，且点与的坐标分别为与。又设与为上的连续函数，则例1.计算其中是由沿抛物线到的有向曲线。解为所以例2.计算第二型曲线积

4、分18，其中是螺旋线：从到上的一段。解直接使用公式得应用求变力作功力沿有向曲线对质点所作的功为。例3求在力的作用下，质点由沿螺旋线：到所作的功。解由于，所以直接使用公式可得习题1.计算其中为单位圆周。2.计算，其中是与相交的圆周。3.计算其中为圆周，依逆时钟方向。4.计算，其中：从到的直线段。5.设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由沿椭圆移动到，求力所作的功。答案：1.4，2.2，3.0，4.13，5.为比例系数。二、二重积分定义：设为平面上的有界闭区域，为定义在上的函数。用任意的曲线把分成个

5、小区域以表示小区域的面积，这些小区域构成的一个分割,以表示小区域的直径，称18为分割的细度。在每个上任取一点，作和式，称它为函数在上属于分割的一个积分和。如果存在，则称在上可积，此极限值就称为在上的积分，记为，即。定理：有界闭区域上的连续函数必可积。性质：1.若在区域上可积，为常数，则在上也可积，且2.若在上都可积，则在上也可积，且3.若在和上都可积，且与无公共内点，则在上也可积，且4.若在上都可积，且，则5.若在区域上可积，则函数在区域上也可积，且6.若在区域上可积，且则这里是积分区域的面积。7．（中值定理）若在有界闭区域上连续

6、，则存在，使得几何意义：若，则表示以为底，以18为曲顶的曲顶柱体的体积，特别地，表示的面积。计算：1.若在矩形区域上可积，则。2.若在型区域上连续，其中在上连续，则。若在型区域上连续，其中在上连续，则3.（极坐标变换）在极坐标变换下，平面上的有界区域与平面上的区域相对应，则注：当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，我们选用极坐标变换进行积分比较方便。例1.设是由直线及围成的区域，试计算：的值。解由分部积分法可得：注：本题用先对后对的累次积分是计算不出来的。选用合适的积分次序对某些类型的重积分计算是至关重要的。例2

7、：在下列积分中改变累次积分的顺序：。解：例3：计算，其中为圆域：。解利用极坐标变换，有注：本题若不用极坐标变换计算，而用直角坐标系下化为累次积分计算，就会遇到计算18的问题，但无法计算。应用：求曲顶柱体的体积例4：求球面被圆柱面所割下部分的体积。解：由所求立体的对称性，我们只要求出在第一卦限内的部分体积后乘以4，即得所求立体的体积。在第一卦限内立体是个曲顶柱体，其底为平面内由和所确定的区域，曲顶的方程为所以其中，用极坐标变换后得习题：1.计算，其中是由所围成。2.改变累次积分的次序：3.计算其中4.求由和所围成的立体的体积。参考答

8、案：1.，2.3.4.格林公式（Green公式）1．格林公式若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有这里为区域的边界曲线，并取正方向。（上述公式称为格林公式）。（区域边界曲线的正方向规定为：当人沿边界正向行走时，区域总在它的左边）若令则得到