连续函数的一个性质及其应用

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1、一元连续函数的一个性质及其应用叶留青杨秀芹焦作师范高等专科学校数学系河南焦作454001树立函数观点，突出函数思想，培养函数思维模式，运用函数方法，是初等数学教育教学的重要内容之一。幂平均不等式实质上是幂函数的一个性质，它是否还可以改进，一般一元连续函数是否也具有类似的性质？我们对此问题进行探讨表明，利用所给出的定理证明不等式时，思路通畅，作题规范，步骤简便，使有些证明难度较大的不等式问题变得比较简单，也加深了学生对函数思想和函数方法的运用和理解，为发现不等式，解决不等式问题开辟了一条新途径。1.关于一元连续函数的一个性质定

2、理设，则幂平均不等式可表示为（1）其中，（2）其中，1.1引理设是区间上的连续函数，，且。用表示点（下同），则点在以点和点为端点的线段上。证明因为＝＝＝0基金项目:全国教育科学十五规划课题(FIB030837)子课题,河南省教育厅课程教学改革项目（C2803）作者简介：叶留青（1965-），男，河南汝南人，硕士，焦作师专数学系教授，从事数学课程与教学论研究。所以点，，共线。由易知，故点在线段上。1.2定理函数在区间上，（1）若是增函数，则对于有（2）若是减函数，则对于有（3）若是常函数，则对于有证明（1）不妨设，曲线上横坐标

3、为的点为,弦与弧围成的区域（包括边界）为（如图）O下面先证明：对于任意自然数点在上。当时，,所以点在上。假设点时，点在,已知点在弧上，所以线段的两端点都在上。因为在上是增函数，所以曲线在上呈下凸形状，于是知线段所有点都在上。因为，所以由引理知点在线段上，从而知点也在上。所以对于任意自然数点都在上。点在上，而点在弧上，注意到,于是，即.同理可证明（2）.（3）因是常函数，故可设，于是2.定理应用一元连续函数的图像或凸或凹或直总是普遍存在的，而高中数学新编教材增加导数内容后，为判断一元连续函数的凸凹性提供了有力工具，这就为运用定

4、理证明不等式，发现不等式，解决不等式问题开辟了新途径。2.1改进幂平均不等式长期以来，在应用幂平均不等式时，只考虑幂指数或，缺失了的情况，如文〔1〕和文〔2〕。事实上，当时，幂函数的导数在上是增函数，由定理知，对于，有许多与幂平均不等式有关的命题也应改进。例如文〔2〕给出的经多次推广而得到的一个不等式：若：,且则中和的取值范围应改进为或；或。顺便说明一下，该不等式还可以推广为若：，或；或，，则，因证明思路与文〔2〕中对原不等式的证明类同，故从略。2.2导出几个重要不等式由于一元连续函数的导数的单调性与函数图像的凸凹性是等价的

5、，因而根据几个常见函数图像的凹凸性，即可得出下面几个重要不等式1.弦平均不等式若，则有若，则有2.切平均不等式若，则有若，则有3.对数平均不等式若则若，则4指数平均不等式若且，则2.3简证一类不等式许多不等式问题，一旦与一元连续函数起来以后，利用所给定理去解决，顺畅，简便，得心应手。例1设正数之和为，求证：（1976年英国数学竞赛题）证明：设，则，当时，是增函数，由定理知，当，且时，，于是得，故原不等式成立。例2设求证（1998年第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明：设，则原不等式等价于不等式设，则，在上是增函数。因，且，由

6、定理知，于是得，故原不等式成立。例3设，，则有，该不等式是文〔4〕给出的重要定理，其证明难度较大。证明：设，则，在上是增函数。因，由定理知，于是有。例4证明对任意，有不等式（第26届全俄数学竞赛奥林匹克试题）证明：设，则原不等式等价于，设，则，在上是增函数。由题意知，由定理知，于是得，故原不等式成立。例5设，求证：证明：原不等式等价于不等式：设，则，原不等式又等价于不等式：，设，则，在上是增函数。因，由定理知于是有，故原不等式成立。例6设，求证：（数学通报2004.1第1474号问题）证明：设，原不等式等价于不等式设，注意到

7、，则，在上是增函数。因为，由定理知于是得，故原不等式成立。例7设，且求证：（36届IMO试题）证明：设，原不等式等价于不等式，令，则，于是原不等式又等价于不等式，设，则，在上是增函数，由定理知时，于是得，故原不等式成立。例8设均为锐角，且满足，求证：（数学通报839号问题）证明：原不等式等价于不等式，设，则，于是原不等式等价于不等式：，设，则，由定理知，于是得，故原不等式成立。例9设正数，满足，试证：（31届IMO试题）证明：设，则原不等式等价于不等式设，则，在上是增函数。因为，由定理知，于是得，，故原不等式成立。利用定理还

8、可以证明下列不等式：1、证明不等式2、已知，求证3、设，且，求证：（1984年巴尔干数学竞赛题）4、若且求证（Shopiro不等式）5、设，求证（1963年莫斯科数学竞赛试题）6、设是的三边，求证：（数学通报2003.1第36页题）7、在中，求证（数学通报1995.2第936号问题）可见，