八年级数学下册 专题突破讲练 勾股定理及逆定理的综合应用试题 （新版）青岛版

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1、勾股定理及逆定理的综合应用一、勾股定理的逆定理逆定理如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。逆定理说明：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。②在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形。二、实际应用定理中的注意问题1.定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长

2、，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；2.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1.理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；2.掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。例题1如图，△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，则BC的长为（）A.15B.16C.17D.18解析：延长AD至E使ED=AD，利用好“AD是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到

3、直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD的长度了，再根据BC=2BD，所以BC的长也就求出了。答案：解：延长AD至E，使DE=AD；连接BE，∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17，在△ADC和△EDB中，AD＝DE∵∠ADC＝∠EDBBD＝CD，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289，∴∠ABE=90°，∵在Rt△BED中，BD是中线，∴BD=AE=8.5，∴BC=2BD=2×8.5=17。故选C。例题2勾股定理是几何中的一个

4、重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A.50B.52C.54D.56解析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解。答案：解：如图，延长AB交K

5、F于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，因此，矩形KLMJ的面积为7×8=56。故选D。利用勾股定理计算角度例题如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置。若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度。解析：首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，进而得出答案。答案

6、：解：连接EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，∴EE′=2，∠BE′E=45°，∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9，∴E′E2+E′C2=EC2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=135°。故答案为：135。开放性试题开放性试题是与封闭性试题相对的、没有固定答案或唯一结论的一种试题形式，它在很大程度上弥补了封闭性试题的种种不足，特别在考查学生思维的灵活性和广泛性，考查学

7、生的实践能力和创新意识，以及情感、态度、价值观等方面有着封闭性试题所无法取代的优点。可使同学们的主观能动性得到极好的发挥。例题如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。请给出4种不同拼法，并求所拼等腰三角形的周长。解析：根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；利用图形，分别求得每一个等腰三角形的周长。答案：解：4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形如图所示：图1：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+=20+

8、4；图2：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12=32；图3：根据图示知，64+x2=（x+6）2，解得，x=，∴拼成的等腰三角形的周长为2×（+6）+10=26；图4：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8=36。（答题时间：45分钟）一、选择题1.有下面的判断：①若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形。