平面与空间直线(第3-4课时-共面问题

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1、第40讲平面与空间直线-共面问题（第3-4课时）考点热点一定掌握！6．证诸点共面方法：①证这些点所在的直线共面。②先设其中三点确定一个平面，再证其它点在此平面内。③证其中几点在第一个平面内，另几点（中间可以含有刚才已用过的点）在第二个平面内，再证此两平面重合。例．如图，是一个空间四边形，、、、分别是四条边、、、的中点，求证、、、四点共面。证明：如图，连接、，它们分别是和的中位线，∴∥，∥，∴∥，∴过和可以作一个平面，∴、、、四点共面。说明：本题使用方法①。例．设若干点在一平面内的射影都在一条直线上，试证这些点在同一平面内。证明：如图，设点、、、、……在平面内的射影分别为、

2、、、、……∵，，∴∥，∴与确定的平面，同理，与确定的平面，与确定的平面，……又、、、……均过直线，而过一不垂直于已知平面的直线只可作一个平面与已知平面垂直，∴、、、……重合，∴、、、、……在同一平面内。说明：本题使用方法③。例．如图，已知异面直线、，试证两个端点分别在直线和上的线段的中点都在同一平面内。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）已知：如图2-2，、、是两个端点分别在、上的线段，是两个端点分别在、上且异于、，异于、的线段中的任一条，、、、分别是、、、的中点，求证：、、、共面。证明：连接、，假设、、三点共线，∵是的中位线，∴∥，∴∥，但是的中位线，∥，∴

3、∥（三线平行公理），这与已知的、异面矛盾，∴、、三点不共线。故可设、、三点确定平面，图2-2如图2-3，连接，下面说明必与相交。设与确定平面，与确定平面，①假设∥，由∥可得∥，由面面平行判定定理有∥，同理∥，那么与平行或重合，但与有交线，故与不可能平行；若与重合，则、共面，与已知、异面矛盾，故与不可能重合。∴。②假设，则，即=，与∥矛盾，图2-3∴，综合①②可知，必与相交，设交点为，如图2-4，连接，∵，∥，∴∥，∵为中点，在中，必为中点，同理可证，必与相交，设交点为，连接，同理可证，必为中点，∴与重合，∴，∴、、、共面。说明：本题使用方法②。图2-47．证诸线共面方法：

4、①先证两线确定一个平面，再证其它线在此平面内。证其它线在此平面内时，可证其它线上有两点在此平面内，也可假设其它线不在此平面内而引出矛盾。②先证其中几线在一个平面内，另几线在另一个平面内，再证此两平面重合。例．过两异面直线中一条上各点引另一条直线的平行线在同一平面内。（已知求证略。）证明：如图，在上任取两点、，过、分别作∥，∥，设和确定平面，假设,∵，∴，在内过作∥，∵∥，∴∥，故在空间过一点有了两条直线与已知直线平行，这不可能，∴,同理可证过上其它各点所作的平行线也在内。点评：本题使用方法①之反证法。例．如图，过直线作平面、、、……从外一点分别作各平面的垂线、、、……、、

5、、……为垂足，试证所有这些垂线共面。证明：∵，，，，∴，，∴平面，同理，平面，∵过一点只可以作一个平面垂直与一条直线，∴平面与平面重合，∴平面，同理可证其它垂线在平面内，∴、、、……共面。点评：本题使用方法②。8．证诸线不共面例．如图，已知空间四边形，试证、异面。证法一：∵平面，平面=，，∴、异面。证法二：假设、共面，则、、、共面，这与已知是空间四边形矛盾，∴、异面。点评：本题使用反证法。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！LJ0101-03平面的概念与性质(续)12345678证诸点共面●证诸线共面√√证诸线不共面√2．如图，已知二面角--内一点，，，，求证、、共面。证

6、明：∵，，∴，又，∴面，同理，面，∵面和面都过点且垂直于，∴面和面重合，∴、、共面。点评：本题使用方法①。3．若一条直线和三条两两平行的直线都相交，则这四条直线在同一平面内。证明：（已知求证略）如图，∵∥，∴、确定一个平面，设为，∵∥，∴、确定一个平面，设为，则、，∴，同理，即、既在内又在内，∴、重合，∴、、、共面。点评：本题使用方法②。4．如图，平面平面=，、，且、不重合，，，求证、异面。证法一：∵，=，，∴、异面。证法二：假设、共面，则和点确定的平面与和点确定的平面重合，这与已知平面=矛盾，∴、异面。点评：本题证线不共面。例（年高考题）．提示：分析：解：证明：点评：解

7、题错误：错误原因分析：∵∴⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅⒆⒇①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩∞.；.；.；.。、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、a、b、c、d、

8、a

9、、

10、b

11、、

12、c

13、、

14、d

15、、a•b、c•d、a∥b、a^b、、、、、、、、、、、∥、、∶•≈≠∞℃、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、∥º∽≌、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、