导数与微分(3)(1)

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1、内蒙古化工学院基础部-------------高等数学教案第三章导数与微分第一节导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念,导数的几何意义教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握教学内容：一、函数在一点的导数1、引例：为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。（1）变速直线运动的瞬时速度物体作直线运动时，刻画的是某一时间间隔内的平均速度。物体作变速直线运动时任一时刻的瞬时速度如何？设一质点在轴上从某一点开

2、始作变速直线运动，已知运动方程为．记=时质点的位置坐标为=．当从增加到+时，相应地从增加到=．因此质点在这段时间内的位移是=，而在时间内质点的平均速度是==．显然，随着的减小，平均速度就越接近质点在时刻的所谓瞬时速度（简称速度）．但无论取得怎样小，平均速度总不能精确地刻画出质点运动在时变化的快慢．为此我们想到采取“极限”的手段，如果平均速度=当0时的极限存在，则自然地把这极限值（记作）定义为质点在时的瞬时速度或速度：（2）切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线

3、只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线，在原点处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线。下面给出切线的定义。设有曲线及上的一点（图2-1），在点外另取上一点，作割线。当点沿曲线趋于点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线上的一个点（图2-2），则。根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点外另取上的一

4、点，于是割线的斜率为，其中为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时，。如果当时，上式的极限存在，设为,即第20页共20页内蒙古化工学院基础部-------------高等数学教案存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线的倾角。于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线。事实上，由以及时，可见时（这时），。因此直线确为曲线在点处的切线。图2-2图2-1这里，是函数的增量与自变量的增量之比，它表示函数的平均变化率．上面所讲的瞬时速度和切线斜率，虽然它们来自不同的具体问题，但在计算上都

5、归结为同一个极限形式，即函数的平均变化率的极限，称为瞬时变化率．在生活实际中，我们会经常遇到从数学结构上看形式完全相同的各种各样的变化率，从而有必要从中抽象出一个数学概念来加以研究．二、导数定义1、导数定义：以上两个实例，一个物理学的问题，一个是数学的几何问题，但解决问题的思想方法是一致的。从数学结构上看数学形式一样①求增量用，求②求比值③求极限。具此得出导数定义③定义1、设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处

6、可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，函数在点处可导，如果③式的极限不存在，就称函数在点不可导，，，也称在的导数为无穷大。2、导数的记号：也可记作，或。3、导数的等价定义式导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有④和⑤第20页共20页内蒙古化工学院基础部-------------高等数学教案4、导数的代数意义：函数增量与自变量增量之比是函数在与为端点的区间的平均变化率，而导数则是函数在点的变化率，它反映了函数随自变量而变化的快慢程度。5、导数的其它意义：利用“导数”术语，我们说：(1)瞬时速度

7、是位移对时间的导数，即，它就是导数的力学意义．(2)切线的斜率是曲线上点的纵坐标对点的横坐标的导数，即，它就是导数的几何意义．6、导数几何意义的应用函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率如为无穷大，在点处具有垂直于轴的切线切线方程法线方程7、导函数的定义：如果函数在区间（、）内每一点都可导，就称函数在区间（、）内可导，这时函数对于每一个（、）都有一个确立的导数值与之对应，符合函数定义，构成的一个新的函数，这个新函数叫做函数对的导函数，记为：，或（3）式中，把换成，的导函数公式。导函数简称为导数

8、函数在点的导数就是导函数在点的函数值四、可导与连续的关系1、连续与可导的关系：连续与可导是函数的两个重要概念．虽然在导数的定义中未明确要求函数在连续，但却蕴涵可导必然连续这一关系．定理1若在可导，则它在必连续．证设在可导，即则有．所以在连续．但反过来不一定成立，即在连续的函数未必在可导．2、左导数与右导数根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点第20页共20页内蒙古化工学院基础