导数与微分(4)(1)

《导数与微分(4)(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第三章导数与微分本章教学要求1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点:导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点:求复合函数和隐函数的导数的方法.第一节导数的概念一、引例为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题。

2、1、直线运动的速度设某点沿直线运动，运动完全由位置函数函数所确定。非匀速运动的动点从位置移动到,求在时刻t0的速度应如何理解,又如何求得呢？最简单的匀速运动情形，（1）如果运动不是匀速的，那末在运动的不同时间间隔内，比值(1)会有不同的值。这样，把比值(1)笼统地称为该点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。首先去从时刻t0到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置移动到。这时由(1)式算得比值（2）可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值(2)在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度。但对于动点在时

3、刻t0的速度的精确概念来说，这样做是不够的。，而更确切地应当这样：令，取(2)式的极限，如果这个极限存在，设为v，即（3）这时就把这个极限值称为动点在时刻t0的瞬时速度。2、切线问题(1)切线的定义：设由曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，做割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长趋于零，也趋于零。现在就曲线C为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线C上的一点，则。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就

4、行了。为此，在点M外另取上的一点，于是割线MN的斜率为（4）其中为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，。如果当时，上式的极限存在，设为k，即（5）存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线MT的倾角。于是，通过点且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，由以及时，可见时，(这时)，。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。二、导数的定义在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，例如电流强度、角速度、线密度等等，都可归结为形如(3)、（5）式的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关系

5、上的共性，就得出函数的导数概念。1、导数的定义定义1(导数)设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量时(点仍在该领域内)，相应地函数y取得增量，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即（6）也可记作或注解::①函数在点处可导时，也称在点具有导数或导数存在。如果极限(6)不存在，称函数在点处不可导。②导数的定义式也可取不同的形式，常见的有（7）和（8）式(7)中h的即自变量的增量③、若时，，则函数在处是不可导的。但为了描述函数的这一特殊性态，我们宁愿称函数在处的导数为无穷大。并赋予它记

6、号：。定义2（导函数）上面讲的是函数在一点处可导，如果函数在开区间I内的每一点都可导，就称函数在开区间I内可导。这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数，（9）记作或。例1求在处的导数.解:由导数的定义知注解:①在(6)式或(7)式中把换成，即得导函数的定义式或②在以上两式中，虽然可以取区间I内的任何数值，但在极限过程中，是常量，或是变量。③函数在点处的导数就是导数在点处的函数值，即导函数简称导数，例2求的导函数(导数).解:由导数的定义知2、左、右导数根据函数在点处的导数的定义，

7、是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限及都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即（10）（11）特别地，函数在点可导的充分必要条件是在点处左导数、右导数都存在且相等。例3求函数在的导数解：不存在。即在不可导。函数在的左导数及右导数都存在，但不相等，故函数在处不可导。另外,如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。3、导数的几何意义（1）函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即其中是切线的倾角。（2）如果在点处的导

8、数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线。（3）根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线在点处的切线方程为过切点且与切线垂直的直线叫做曲线