高中数学 专题1.3.3 函数的最大（小）值与导数教案 新人教a版选修2-2

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1、函数的最大（小）值与导数【教学目标】1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．【教法指导】本节学习重点：会求某闭区间上函数的最值．本节学习难点：理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．【教学过程】☆复习引入☆极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一　求函数的最值思考1　如图，观察区间[a，b]上函数

2、y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗答　f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．思考2　观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？小结　一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．思考3　函数的极值和最值有什么区别和联系？答　函数的最大值、最小值是比较整个定义

3、区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．小结　求一个函数在闭区间上的最值步骤：1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．3．比较大小，确定结论．例1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．x(－∞，－)－

4、(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8；所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝π或x＝π.计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝＋，f(π)＝π－.∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思与感悟　(1

5、)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．跟踪训练1　求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,

6、5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.探究点二　含参数的函数的最值问题例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．解　(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(

7、1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0<<2，即0

8、0]结果如何？从而f(x