高中数学不等式模块知识点集合

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1、高中数学必修5不等式知识点归纳一．不等式的概念与性质1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：2．不等式的性质：（1），（反对称性）（2），（传递性）（3），故（移项法则）推论：（同向不等式相加）（4），推论1：推论2：推论3：不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强3．常用的基本不等式和重要的不等式（1）当且仅当（2）（3），则（4）4最值定理:设（1）如积（2）如积即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的

2、三要素：一正二定三相等5均值不等式:两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n个正数的均值不等式：6四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：1不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c2同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,但不能得

3、a—c>b—d3不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负。不等式这部分知识

4、，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不

5、等式的求解或证明二．不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利

6、用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：；④利用常用结论：Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不

7、等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究例1已知a，b∈R，且a+b=1求证：证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法）因为显然成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（

8、反证法）假设，则由a+b=1，得，于是有所以，这与矛盾所以证法五：（放缩法）∵∴左边＝＝右边点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法）∵，所以可设，，∴左边＝＝右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故小结：1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，