北京市2013届高三数学一轮复习单元训练 导数及其应用

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1、北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为()A．B．C．D．【答案】A2．若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)=0(或y=f(x))的“自公切线”．下列方程：①x2—y2=1;②y=x2—

2、x

3、；③y=3sinx+4cosx；④

4、x

5、+1=对应的曲

6、线中存在“自公切线”的有()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C3．已知b＞a，下列值：，，

7、

8、的大小关系为A．

9、

10、≥≥B．≥

11、

12、≥C．=

13、

14、=D．=

15、

16、≥【答案】B4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()A．－B．－ln2C．D．ln2【答案】D5．函数满足，其导函数的图象如下图，则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为()A．B．C．2D．【答案】B6．设函数是定义在的非负可导的函数，且满足，对任意的正数，若，则必有()A．B．C．D．【答案】A

17、7．()A．B．C．D．【答案】D8．已知，则的最大值是()A．B．C．D．【答案】B9．将函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是()A．4B．8C．2πD．4π【答案】D10．设函数f（x）＝ax2＋b（a≠0），若f（x）dx＝3f（x0），则x0＝()A．±1B．C．±D．2【答案】C11．如下图，阴影部分面积为(　　）A．B．C．D．【答案】B12．已知函数，若函数的图像上点P（1，m）处的切线方程为，则m的值为()A．B．C．－D．－【答案】C第Ⅱ卷(非选择题　共90分)二、填空

18、题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数．方程在区间上实数解的个数是；【答案】14．=.【答案】15．求曲线与轴所围成的图形的面积为．【答案】16．由曲线与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是；【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【答案】⑴．根据题意，得即解得所以．⑵令，即．得．因为，，所以当时，，．

19、则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以．所以的最小值为4．⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．则．因为，所以切线的斜率为．则=，即．因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．所以函数有三个不同的零点．则．令，则或．则，即，解得．18．已知某工厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？【答案】（1）设平均成本为元，则，[，令得．当在附近左侧时；因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2）利润函数为，，令，得，因此，要使利润最大，应生产6

20、000件产品．19．定义函数．(1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程；(2)令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围；(3)当，且时，证明．【答案】（1），由，得．又，由，得，．又，切点为．存在与直线垂直的切线，其方程为，即(2）．由，得．由，得．在上有解．在上有解得在上有解，．而，当且仅当时取等号，．(3）证明：．令，则，当时，∵，∴，单调递减，当时，．又当时，，当．且时，，即．20．计算下列定积分的值(1）；（2）；(3）；（4）【答案】（1）(2）(3）(4）21．．计算下列定积分(1）(2）【答

21、案】(1)(2)22．某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。【答案】（1）设日销售量为则日利润(2）①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35

22、L（x）取最大值为②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，易知当x=a+31时，