2014届高考数学一轮专题复习 高效测试12 变化率与导数、导数的计算 新人教a版

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1、高效测试12：变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝(　　)A．－　B.C.D．e2解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝＝＝0，故x0＝e，∴f(x0)＝.答案：B2．阅读下图所示的程序框图，其中f′(x)是f(x)的导数．已知输入f(x)＝sinx，运行相应的程序，输出的结果是(　　)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝

2、－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，它以4为周期进行变换，故f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.答案：D3．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)解析：设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex＞0，所以由基本不等式得k≥，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π.答案：D4．有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度

3、为(　　)A.B.C.D.解析：∵s(t)＝t2＋，∴s′(t)＝2t－，∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝.答案：D5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝(　　)A．－1B．－2C．1D．2解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝－2，选B.答案：B6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2011的值为(　　)A.B.C.D.解析：f′(x)＝2x＋b，

4、由f′(1)＝2＋b＝3，得b＝1.于是＝＝＝－，S2011＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：D二、填空题7．函数y＝sinx＋cosx在x＝π处的切线方程是________________．解析：∵当x＝π时，y＝sinπ＋cosπ＝－1，[z.zs.tep.com]∴切点为(π，－1)．∵y′＝cosx－sinx，∴k＝cosπ－sinπ＝－1，根据点斜式可得此切线的方程为：y＋1＝－1×(x－π)，即y＝－x＋π－1.答案：y＝－x＋π－18．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于x轴的切线，则实数a的取值范围是____

5、______．解析：依题意得f′(x)＝3ax2＋＝0，(x＞0)有实根，∴a＝－＜0.答案：(－∞，0)9．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为__________．解析：设P(x0，y0)(x0＜0)．由题意知y′

6、＝3x－10＝2，∴x＝4.∴x0＝－2(x0＝2舍去)．∴y0＝15.∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题10．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k

7、的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．解析：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1①[中

8、国教

9、育出

10、版网]y1＝－x＋x1－4②①代入②得x＋x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝2－16＝0，得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝时，x1＝2，y1＝1.∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.(2)由(1)得P点坐标为(2,1)，∴过P点的切线的垂线为y＝－2x＋5.由，得或(舍)．∴点Q的坐标为.11．(2013·绍兴调研)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝b

11、x2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f′(t)＝g′(t)．而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.将a＝－t2代入上式得b＝t因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f

12、(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解析：(1)方程7x