高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式课后导练 新人教a版选修4-5

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1、3.3排序不等式课后导练基础达标1若A=x12+x22+…+xn2,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中x1,x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系是()A.A>BB.AQ

2、D.P

3、B+cC)≥(a+b+c)(A+B+C),即≥=.答案:≥5设a,b,c∈R,求证:aabbcc≥(abc).证明:∵a,b,c∈R,∴lg(aabbcc)=alga+blgb+clgc,lg(abc)=(lga+lgb+lgc).设a≤b≤c,作序列a,a,a,b,b,b,c,c,c,lga,lga,lga,lgb,lgb,lgb,lgc,lgc,lgc.3(alga+blgb+clgc)≥a(lga+lgb+lgc)+b(lga+lgb+lgc)+c(lga+lgb+lgc),即alga+blgb+clgc≥(lga+lgb+lgc),∴aabbcc≥(abc).

4、综合运用6设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并问何时取等号?证明:不妨设a≥b≥c,此时a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),于是由排序不等式可得·a(b+c-a)+·b(c+a-b)+·c(a+b-c)≤·a(b+c-a)+·b·(c+a-b)+·c(a+b-c)=a+b+c,即a(b-a)+b(c-b)+c(a-c)≤0,a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,上式当且仅当==,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.7已知a1,a

5、2,…,an是n个两两互不相等的正整数,求证:a1+.证明:注意到,所以可以看作一个乱序和,将a1,a2,…,an排序后就可以利用排序原理.因为a1,a2,…,an是n个两两互不相等的正整数,可将它们从小到大排列,不妨设b1

6、ot2α+cot2β+cot2γ≥.证明:∵cos2α+cos2β+cos2γ=1,cos2α=1-sin2α,∴sin2α+sin2β+sinγ=2.又sinα2+cos2α=1,∴1+cot2α=.∴3+cot2α+cot2β+cot2γ=,(sin2α+sin2β+sin2γ)()≥［sinα·］2=9,即2·()≥9(柯西不等式).∴3+cot2α+cot2β+cot2γ≥.∴cot2α+cot2β+cot2γ≥.备选习题10设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.证明:不妨设a≥b≥c,容易验

7、证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),由排序不等式可得a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c),①及a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c),②①+②并化简即得a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.11设a,b,c均为正数,求证:a+b+c≤.证明:不妨设a≥b≥c>0,则有a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc,由排序不等式得a2bc+ab2c+ab