《导数基础讲义》word版

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1、二、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。  ⑵熟记基本导数公式(c,x(m为有理数),sinx,cosx,e,a,lnx,logx的导数)。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。  ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数要极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。三、复习目标 1

2、.了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念.2.熟记基本导数公式(c,x(m为有理数),sinx,cosx,e,a,lnx,logx的导数)。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用. 3.了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和

3、、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。  4.了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题。四、双基透视导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面:1.导数的常规问题:(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数

4、问题属于较难类型。2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。  5.瞬时速度  在高一物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先指出:运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出发,结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运

5、动的平均速度的极限来定义瞬时速度.  6.导数的定义  7.导数的几何意义  函数y=f(x)在点处的导数,就是曲线y=(x)在点处的切线的斜率.由此,可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步:  (1)求出函数y=f(x)在点处的导数,即曲线y=f(x)在点处的切线的斜率;  (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为    特别地,如果曲线y=f(x)在点处的切线平行于y轴,这时导数不存,根据切线定义,可得切线方程为  8.和(或差)的导数9.积的导数 10.商的导数11.导数与函数

6、的单调性的关系范例分析例1.在处可导,则例2.已知f(x)在x=a处可导,且f′(a)=b,求下列极限:  (1);(2)例3.观察,,,是否可判断,可导的奇函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。例4.(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;  (2)运动曲线方程为,求t=3时的速度。例5.求下列函数单调区间(1)(2)(3)(4)例6.求证下列不等式(1)(2)(3)例7.利用导数求和:  (1);  (2)。例8.求满足条件的(1)使为上增函数(2)使为上……(3)使为上例9.(1)求

7、证(2)求证例10.设,求函数的单调区间.  例11.已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点,过A、B两点的切线分别为和。  (1)求A、B两点的坐标;  (2)求直线与的夹角。例12.(2001年天津卷)设,是上的偶函数。(I)求的值;(II)证明在上是增函数。例13.(2000年全国、天津卷)设函数,其中。(I)解不等式;(II)证明:当时,函数在区间上是单调函数。例14.已知,函数设,记曲线在点处的切线为。(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)设与轴的交点为,证明:①②若,则七、强化训练1.设函数f(x)在处

8、可导,则等于()  A.B.C.D.2.若,则等于()A.B.C.3D.23.曲线上切线平行于x轴的点的坐标是()  A.(-1,2)B.(1,-2)C.(1,2)D.(-1,2)或(1,-2)4.若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()  A.90°B.0°C.锐角D.钝角5.函数在[0,3]上的最大值、最小值分别是()A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-166.一

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