《数列极限》word版

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1、高等数学（上）1.2数列的极限1.2.1数列极限的定义对于数列，具有如下性质取则当时，有定义设是一个数列，是一个常数，正整数，使得当时，则称是数列的极限，或称数列收敛于，记为几何解释（p23）如：证要使只需取正整数则当时，有9故例1证明证要使只需取正整数则当时，有故例2证明证，要使只要取正整数则当时，有故1.2.1收敛数列的性质定理1.1（唯一性）若数列收敛，则取极限是唯一的.证设下面用反证法证明9若取正数因故存在正整数使得，当时，有（1）同理，存在正整数使得当时，有（2）取正整数则当时，（1），（2）两式都成立，此时矛盾.故定理

2、1.2（有界性）若数列收敛，则数列是有界的.证设取，则存在正整数使得，当时，取正数则故数列有界.定理1.3（保号性）若，则存在正整数使得，当时，证只证时的情形.设取定一个小于的正数，对于正数存在正整数使得，当时，有故，当时，推论若数列从某项起有，且，那则证只证的情形.因数列从某项起故存在正整数使得，当时，有下面证明若由定理1.3得，存在正整数使得，当时，取则当时，与同时成立，矛盾.故9作业：p22.3.（2）9习题1—23.根据数列极限的定义证明：（1）证，要使只需取正整数，则当时，有于是（2）证，因故当时，取正整数则当时，故（3

3、）证，因故取则当时，有故(4)证9，要使只需故取正整数，则当时，故4.如果证明：并举例说明：如果数列有极限，但数列未必有极限。、.证因故存在正整数使得，当时，此时，故由数列极限的定义得，但是，当数列有极限时，数列不一定有极限.如取则数列有极限但是数列没有极限.5.设数列有界，又证明：证因数列有界，故存在正数使得，又因故存在正整数使得，当时，此时，故由数列极限定义得，9定理5（四则运算）若都收敛，则都收敛，且若再有，则证设，下证因，故存在正数使得取正数使得当时，正数使得当时，取，则当时，故例4求解原式例5求解：若,则于是9若则99