高中数学 3.2简单的三角恒等变换导学案 新人教a版必修4

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1、第三章§3.2简单的三角恒等变换【学习目标】1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）。3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【学习重点】三角函数式的化简、求值和证明【基础知识】复习：Cos(α+β)=Cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=tan(α+β)=tan(α-β)=sin2α=tan2α=cos2α=【例题讲解】例1、试以表示．点评：⑴以上结果还可以表示为：并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角

2、的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2求证：（１）；（２）．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３求函数的周期，最大值和最小值．例4：已知OPQ是半径为1，圆心角为60度的扇形，C是扇形弧上的一动点

3、，ABCD是扇形的内接矩形，且AB在半径OP上，记,求当为何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大值？【达标检测】1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）A．－B．－C．D．2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A．－B．－C．D．4．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，则cos2α

4、－cos2β等于（）A．－mB．mC．－4mD．4m二、填空题5．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．6．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．三、解答题7．已知f（x）=－+，x∈（0，π）．（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值．8．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，，求cos的值．9．已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求证：（2cos2A+

5、1）2=a2+b2．10．求证：cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α．【问题与收获】参考答案例1解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以a代2a，代a）解：因为，可以得到；因为，可以得到．两式相除可以得到．例2：解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系.证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得；即；（２）由（１）得①；设，那么．把的值代入①式中得．例３、解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，

6、再求相应的值.解：，所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．【达标检测】一、选择题：1．C2．B3．D4．B二、填空题：5．6．－三、解答题7．解：（1）f（x）==cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．（2）∵f（x）=2（cosx+）2－，且－1≤cosx≤1，∴当cosx=－时，f（x）取得最小值－．8分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．解：由题设条件知B=60°，A+C=120°，∵－=－2，∴=－2．将上式化简为cosA+cosC=－2cosAcosC

7、，利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2coscos=－［cos（A+C）+cos（A－C）］，将cos=cos60°=，cos（A+C）=cos120°=－代入上式得cos=－cos（A－C），将cos（A－C）=2cos2（）－1代入上式并整理得4cos2（）+2cos－3=0，即［2cos－］［2cos+3］=0．∵2cos+3≠0，∴2cos－=0．∴cos=．9．证明：由已知得∴两式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2．10．证明：左边=（1+cos2x）+［1+cos（2x+2α）］－2c

8、osxcosαcos（x+α）=1+［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）=1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］=1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α=1－cos2α=sin2α=右边，∴原不等式成立．