考研数学导数的应用(卓越资料

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1、卓越考研卓而优越则成卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编7卓越考研卓而优越则成§3.2导数的应用A基本内容一、洛必达法则：若1）2）、在点的某去心邻域内可导，且3)则注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）二、判断函数的单调性定理：设函数在内可导，如果恒有则在内单调增加（单调减少）；如果恒有，则在内单调不减（单调不增）。基本应用模型：设在内连续，在内可导，且，又，则当时，恒有。三、函数的极值1、定义：设函数在内有定义，是内的某一点，则如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极大值，称为函数的一个极

2、大值点；如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极小值，称为函数的一个极小值点。2、必要条件设函数在处可导，且为的一个极值点，则。7卓越考研卓而优越则成我们称满足的为的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3、第一充分条件设在处连续，在内可导，不存在，或。如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极大值，为极大值点；如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极小值，为极小值点；如果在内与内的任一点处，的符号相同，那么不是极值，不是极值点。4、第二充分条件设函数在处

3、有二阶导数，且，，则当时，为极大值，为极大值点。当时，为极小值，为极小值点。四、函数的最大值和最小值1、求函数在上的最大值和最小值的方法首先，求出在内所有驻点和不可导点，其次计算。最后，比较，其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值。2、最大（小）值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。结论：函数在某一区间存在唯一极值点，则该极值点是函数在该区间的最值点。五、凹凸性与拐点1、凹凸性的定义设在区间上连续，若对任意不同的两点，恒有7卓越考研卓而优越则成则称在上是凸（凹）的。在几何上，曲线上任意两点的割

4、线在曲线下（上）面，则是凸（凹）的；如果曲线有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则是凸（凹）的2、拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3、凹凸性的判别和拐点的求法设函数在内具有二阶导数，如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凹的；如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凸的。求曲线的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点、、…、；第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。六、渐近线的求法1、垂直渐近线若或则为曲线的一条垂直渐近线。2、水

5、平渐近线若，或则是曲线的一条水平渐近线。3、斜渐近线若，或，7卓越考研卓而优越则成则是曲线的一条斜渐近线。B典型例题一、利用罗必达法则求极限1、“”型和“”型例1．求例2、求2、“”型和“”型。例1、求例2、求例3、求3、“”型，“”型和“”型这类都是形式，可化为而都是“”型，按2的情形处理例1、求例1、求7卓越考研卓而优越则成例3、求二、判别函数的单调性例1、设在上，则或的大小顺序是（A）（B）（C）（D）解：选（B）根据拉格朗日中值定理其中，又，单调增加因此，例2、设函数在上连续，在内可导，且满足，如果单调增加，求证在内单调增加。例3、证明函数在内单调增加三、有关函

6、数的极值例1、设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有()7卓越考研卓而优越则成（A）一个极小值点和两个极大值点。（B）两个极小值点和一个极大值点。（C）两个极小值点和两个极大值点。（D）三个极小值点和一个极大值点。例2、求的极值例3、已知的某个邻域内连续，且，则在点处(D)（A）不可导.（B）可导，且（C）取得极大值.（D）取得极小值.例4设函数具有二阶导数，且，是的极值，则在的极大值的一个充分条件是()(A)(B)(C)(D)四、求函数的最值例2、函数在区间上的最大值为_______7卓越考研卓而优越则成五、凹凸区间、拐点与渐近线例1、确定函数的单调区间，极值，

7、凹凸区间，拐点及渐近线。例2、曲线e)渐近线的条数为(D)（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.六、方程根的问题例、设常数，求函数在内零点个数。7