曲线积分与曲面积分习题详解

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1、曲线积分与曲面积分习题详解习题9.11计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中是圆中到之间的一段劣弧；解:的参数方程为：，于是．（2），其中是顶点为及所成三角形的边界；解:是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有，由于:，，于是，故，而,，于是．故，同理可知（），，则．34综上所述．（3），其中为圆周；解直接化为定积分．的参数方程为,（）,且．于是．（4），其中为折线段，这里，；解如图所示，．线段的参数方程为，则，故．线段的参数方程为，则故，线段的参数方程为，则，34故所以．（5），为球面与平面的交线。解先将曲线用参数方程表示，由于是球面与经过球

2、心的平面的交线，如图所示，因此是空间一个半径为的圆周，它在平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去而得到，即以代入有，将其化为参数方程，令，即，，即有，代入（或中）得，从而的参数方程为，，．则　　　　,所以．2设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中．则的参数方程为34，故，所以．3求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度。解设曲线在坐标平面内的弧段分别为、、，曲线的重心坐标为，则曲线的质量为．由对称性可得重心坐标．故所求重心坐标为．习题9.21设为面内一直线（为常数），证明。证明

3、：设是直线上从点到点的一段，其参数方程可视为，（），于是34。2计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中为抛物线上从点到点的一段弧。解将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到。因此。（2），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧；解的方程为，则有．的方程为，则．所以．（3）是从点沿上半圆周到点的一段弧；解34利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0．则=．（4），其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径；解利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取，则。（5），其中

4、为从点到点的直线段；解直线的方程为化成参数方程得，，，从变到。所以。34（6），为椭圆周且从轴正方向看去，取顺时针方向。解的参数方程为，，，从变到，。3设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。解因为力所以。习题9.31.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:(1)星形线()；）解。(2)圆，（）；解设圆的参数方程为,从变到.那么。34（3）双纽线，（）。解把双纽线的参数方程代入到公式即可求得所要求的面积。2利用格林公式计算下列曲线积分:(1)，其中是圆，方向是逆时针方向；解设闭曲线所围成闭区域为，这里，，，，由格林公式，得。(2

5、)，其中是依次连接三点的折线段，方向是顺时针方向。解令，，则，且线段，由1变化到-1，故有．其中为所围成的闭区域．(3)，其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧；解如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为，从变到。则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令，，34，，由格林公式，得。而，故。(4)，其中为椭圆，取逆时针方向；解令，，则当时，，但积分曲线所围区域包含点，在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点去掉，为此作半径足够小的圆:，使位于的内部，如图右所示．的参数方程为，，，取逆时针方向．于是，其中表示的负方向．由格林公式则有，

6、其中为与所围成的闭区域．故34．(5)，其中，为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数。解由于，其中是在曲线上点处的切线的方向角，故．根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有．因为为圆周，所以所围成的圆的面积，因此。3证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值:(1)；解令，，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有。(2)；解令，，则34在整个面内恒成立，因此，在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有。（3），其中和为连续函数。解令，，则在整个面内恒成立，因此

7、，曲线积分在整个面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有。4验证下列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个：（1）；解令，34，∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取，==（2）；解因为，，所以在整个面内恒成立，因此，：在整个面内，是某一函数的全微分，即有。于是就有（4）（5）由（4）式得（6）将（6）式代入（5）式，得（7）比较（7）式两边，得于是（其中是任意常数）代入（6）式便得所求的函数为。（3）。解令，，则在全平面上有34，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，是全微分．下面用三种方法来求原函数：解法1运用曲线积分公式，

8、为了计算简单，如图9－1