《导数的计算专题》word版

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1、§1.2导数的计算§1.2.1几个常用函数的导数教学目标：1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式;2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用.教学难点：四种常见函数、、、的导数公式.教学过程：一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上

2、很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.二、新课讲授1.函数的导数根据导数定义,因为所以函数导数表示函数图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即物体一直处于静止状态.2.函数的导数因为所以函数导数表示函数图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为,若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.3.函数的导数因为所以函数导数

3、表示函数图像(图3.2-3)上点处的切线的斜率都为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,函数减少得越来越慢;当时,随着的增加,函数增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为.4.函数的导数因为所以函数导数5.函数的导数因为所以函数导数推广:若,则注:这里可以是全体实数.三、课堂练习1.课本P13探究12.课本P13探究2四、回顾总结函数导数五、布置作业§1.2.2基本初等函数的导数公式及导

4、数的运算法则教学目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;2.掌握导数的四则运算法则;3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一、创设情景五种常见函数、、、、的导数公式及应用函数导数二、新课讲授(一)基本初等函数的导数公式表函数导数(二)导数的运算法则导数运算法则1．2．3．推论:(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)(三)运算法则的证明证明:令.

5、即法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即:(范例:(1)求的导数.(2)求的导数.法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:指导学生尝试法则2的证明:令.因为在点处可导,所以它在点处连续,于是当时,.从而即说明:1..2.若为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数..法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：回顾导数定义：证明：设则　　　　.因

6、为在点处可导,所以在点处连续.于是当时,从而即说明:若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为)必可导.若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如:设,,则在处均不可导,但它们的和在处可导.三、典例分析例1假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为,物价(单位:元)与时间(单位:年)有如下函数关系,其中为时的物价.假定某种商品的,那么在第个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)?解:根据基本初等函数导数公式表,有所以(元/年)因此,在第个年头,这种商品的价格约为元/年的速度上

7、涨.例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解:(1)。(2)(3)(4)(5)(6)，。(7)点评:①求导数是在定义域内实行的;②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)(2)解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数(1)因为所以,纯净度为时,费用的瞬时

8、变化率是元/吨(2)因为所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨注:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,.它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.例4求曲线在点的切线方程.分析:先要求出函数的导函数,然后利用导函数求出曲线在点的切线的斜率,最后