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1、多元函数积分学知识结构：必备基础知识★二重积分的定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域：Ds1,Ds2,×××,Dsn，其中Dsi表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个Dsi上任取一点(xi,hi),作和：.如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即.f(x,y)被积函数,f(x,y)ds被积表达式,ds面积元素,x,y积分变量,D积分区域,积分和.★二重积分的几何意义20如果f(
2、x,y)³0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.★二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）。性质2函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。。性质3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分
3、的和。例如D分为两个闭区域D1与D2，则。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质4如果在D上，f（x，y）=1，s为D的面积，则。此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。性质5：如果在D上,f(x,y)£g(x,y),则有不等式：20特殊地，性质6设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,s为D的面积,则有：.上述不等式是对二重积分估值的不等式。性质7（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s为D的面积,则在D上至少存在一
4、点(x,h)使得：.★积分区域的分类（1）上下结构：平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成特点：（1）平面图形上下是两条曲线y=f上(x)和y=f下(x)，左右是两条直线x=a与x=b；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是y=f下(x)，出来区域交的是y=f上(x)例：抛物线、所围成的图形解：该平面图形为上下结构：上面是曲线：；下面是曲线：；左边是直线：；右边是直线：。20（2）左右结构：平面图形由左右两条曲线x=j左(y)与x=j
5、右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成。特点：（1）平面图形左右是两条曲线x=j左(y)和x=j右(y)，上下是两条直线y=d与y=c；（2）作穿过平面图形且平行于轴的有向直线，进入区域交的是x=j左(y)，出来区域交的是x=j右(y)。例：由曲线和直线所围成的图形解：该平面图形为左右结构：左边是曲线：；右边是曲线：；上面是直线：；下面是直线：。20主要考察知识点和典型例题：二重积分是定积分的扩展，是二元函数的积分，具有和定积分相似的定义和性质。从考试的角度看，主要是考查二重积分的计算，考查方法
6、是直接给定一个二重积分，让我们选择合适的方法进行计算。二重积分的计算首先要确定坐标系，即：是在直角坐标系下还是在极坐标系下计算，两种情况往年都考过，所以都需要大家掌握。（1）当二重积分的积分区域为圆面、环面、扇面等区域时，考虑用极坐标；当被积函数含有、、也要考虑极坐标。（2）其余情况一般考虑在直角坐标系下计算。考点一：利用直角坐标计算二重积分（转化为二次积分）1、上下结构区域:D:j1(x)£y£j2(x),a£x£b.（先后）法则：前看端点，后作平行20（2）左右结构区域:D:y1(y)£x£y2
7、(y),c£y£d（先后）法则：前看端点，后作平行典型例题计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.解:方法一.可把D看成是上下结构区域:1£x£2,1£y£x.于是.方法二.也可把D看成是左右结构区域:1£y£2,y£x£2.于是.【注】:(1)若积分区域既是上下结构区域又是左右结构区域,则有为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.(2)若积分域较复杂,可将它分成若干上下结构域或左右结构域,则考点二：利用极坐标计算二重积分（转化为二次积分）20若积分区域可表示为：a£q£
8、b,j1(q)£r£j2(q),则＝.典型例题：计算,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系中,闭区域D可表示为0£r£a,0£q£2p.于是.往年真题：计算，其中为与的公共部分。解：在极坐标系中,闭区域D可表示为0£q£，0£r£,于是20常微分方程知识结构：一阶微分方程二阶微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程微分方程必备基础知识★微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间
