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1、第十一章多元函数积分学一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解二重积分的概念,知道二重积分的性质.2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法.3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量).4．了解曲线积分的概念和性质.5．会计算简单的曲线积分.重点二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.难点直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.（二）内容提要1．二重积分设二元函数是定义在有界闭区域上的连续函数，用微元法
2、先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即称为函数在闭区域上的二重积分，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分区域，称为面积元素，称为积分变量.2．二重积分的几何意义12在区域上当时，表示曲面在区域上所对应的曲顶柱体的体积.当在区域上有正有负时，表示曲面在区域上所对应的曲顶柱体的体积的代数和.3．二重积分的性质(1)可加性.(2)齐次性.(3)对积分区域的可加性设积分区域可分割成为、两部分，则有.(4)(积分的比较性质)若，其中，则.(5)（积分的估值性质）设，其中，而为常数，则,其中表示区域的面积.(6)（积分中值定理）若在有界闭区域上连续，则在上至
3、少存在一点，使得.4.二重积分的计算⑴ 二重积分在直角坐标系下的计算直角坐标系下的面积元素,12①若:,,则=，②若:,,则=.⑵二重积分在极坐标系下的计算极坐标系下的面积元素，极坐标与直角坐标的关系若:,,则==.5.对坐标的曲线积分设是有向光滑曲线,是定义在上的向量函数,且在上连续,利用微元法,先写出弧微元,作乘积=,再无限累加,由这两步所得的表达式,即称为函数在有向曲线上对坐标的曲线积分,其中有向曲线称为积分路径.如果中有一个为零，则这时曲线积分的形式为,如果曲线是封闭曲线，上积分记为.6.对坐标的曲线积分的性质①设为有向曲线弧，是与方向相反的有向曲线弧，则.②如
4、果，则有127.格林公式设是平面上以分段光滑曲线为边界的有界闭区域,函数及在上有一阶连续偏导数,则有格林公式,其中是区域的正向边界.8.曲线积分与路径无关(1)定义设是一个单连通区域,将简称为简称为,如果对内任意指定的两点,以及内从点到点的任意两条不相同的曲线,若有,则称曲线积分在内与路径无关.这时,可将曲线积分记为.(2)曲线积分与路径无关的定理①在单连通区域内，曲线积分与路径无关的充分必要条件是：对内任意一条闭曲线，均有.②设函数和在单连通区域内有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是:在区域内恒成立.9.曲线积分的计算方法⑴积分路径由参数方程给出12
5、设面上的有向曲线的参数方程为且满足:①当参数单调地由变到时,曲线上的点由起点运动到终点;②,在以和为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且;③,在有向曲线弧上连续.则曲线积分存在,且=.⑵积分路径由给出设面上的有向曲线弧的方程为，这时可先将有向曲线弧的方程看作是以为参数的参数方程然后再按（1）中的方法计算.要特别注意:在将对坐标的曲线积分转换为定积分时,积分下限一定要对应积分路径的起点，积分上限一定要对应积分路径的终点.二、主要解题方法1．在直角坐标系下二重积分的计算例1计算其中由直线，和曲线所围成.解画出区域的图形如图所示，求出边界曲线的交点坐标12（，2）,（1，1）,
6、（2，2），选择先对积分，这时的表达式为于是=====.分析本题也可先对积分后对积分，但是这时就必须用直线将分和两部分.其中1D2D由此得=+=+12=+=+=.显然，先对积分后对积分要麻烦得多，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤.例2计算，其中：.1D2D解画出积分区域的图形，观察被积函数，无论先对积分后对积分还是先对积分后对积分都需要将积分区域分成两部分，计算都较繁，这里选择先对积分后对积分，其中因此=+=+=4+4=.例3已知=+改变积分次序.解积分区域，其中1D2D22xy-=画出积分区域的图形，改变为先对积分后对积分，12此时因此=+=.小
7、结把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限，这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时，正确地利用对称性可以使计算简化，但是要注意：只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时，对称性才能应用，切不可只顾积分域而忘了被积函数.2．在极坐标系下二重积分的计算例4计算，其中由,,,所围成的第一象限内的区域.解画出积分区域的图形，12由于积分区域的边界曲线有圆周，所以选极坐标系积分.此时，于是====.例5求半球体在圆柱()12内那部分的体积.解把所求立体投影到面，即圆柱(）内部,容易看出所求立体的体积以为底，以上半球
