高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学业分层测评 新人教b版选修2-1

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1、2.1曲线与方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是(　　)A．(4,0)和(－1,0)　　B．(4,0)和(－2,0)C．(4,0)和(1,0)D．(4,0)和(2,0)【解析】　在曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0中，令y＝0，则x2－3x－4＝0，∴x＝－1或x＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)．【答案】　A2．方程(x2－4)(y2－4)＝0表示的图形是(　　)A．两条直线B．四条直线C．两个点D．四个点【解析】　由(x2－

2、4)(y2－4)＝0得(x＋2)(x－2)(y＋2)·(y－2)＝0，所以x＋2＝0或x－2＝0或y＋2＝0或y－2＝0，表示四条直线．【答案】　B3．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是(　　)A．x＋y＝4B．2x＋y＝4C．x＋2y＝4D．x＋2y＝1【解析】　由＝(x，y)，＝(1,2)得·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，则x＋2y＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】　C4．方程(2x－y＋2)·＝0表示的曲线是(　　)【导学号：15460

3、023】A．一个点与一条直线B．两个点C．两条射线或一个圆D．两个点或一条直线或一个圆【解析】　原方程等价于x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1，或故选C.【答案】　C5．已知方程y＝a

4、x

5、和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(　　)A．a＞1B．0＜a＜1C．0＜a＜1或a＞1D．a∈∅【答案】　A二、填空题6．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的________条件．【解析】　“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”⇒“曲线C

6、上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．【答案】　必要不充分7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】　由方程得或x－3＝0，即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3.【答案】　一条射线和一条直线8．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得

7、

8、＝

9、

10、，则点N的轨迹方程是________．【解析】　由于

11、

12、＝

13、

14、，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y

15、2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.【答案】　y2＝4x三、解答题9．如图211，圆O1与圆O2的半径都是1，

16、O1O2

17、＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得

18、PM

19、＝

20、PN

21、，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．图211【解】　以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2,0)，O2(2,0)．连接PO1，O1M，PO2，O2N.由已知

22、PM

23、＝

24、PN

25、，得

26、PM

27、2＝2

28、PN

29、2，又在Rt△PO1M中，

30、PM

31、2＝

32、

33、PO1

34、2－

35、MO1

36、2，在Rt△PO2N中，

37、PN

38、2＝

39、PO2

40、2－

41、NO2

42、2，即得

43、PO1

44、2－1＝2(

45、PO2

46、2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为

47、AC

48、＝3，

49、BC

50、＝4，

51、AB

52、＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求

53、PA

54、2＋

55、PB

56、2＋

57、PC

58、2的最小值与最大值．【解】　因为

59、AB

60、2＝

61、AC

62、2＋

63、BC

64、2，所以∠ACB＝90°.以C为原点

65、O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于

66、AC

67、＝3，

68、BC

69、＝4，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC的面积＝×3×4＝r＋2r＋r，得r＝1，于是内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1⇒x2＋y2＝2x＋2y－1，由(x－1)2≤1⇒0≤x≤2.设P(x，y)，那么

70、PA

71、2＋

72、PB

73、2＋

74、PC

75、2＝x2＋(y－3)2＋(x－4)2＋y2＋x2＋y2＝3(x2＋y2)－8x－6y＋25＝3(2x＋2y－1)－8x－6y＋

76、25＝22－2x，所以当x＝0时，

77、PA

78、2＋

79、PB

80、2＋

81、PC

82、2取最大值为22，当x＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A(0,0)，B(－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是(　　)A．y＝－x(－3≤x≤0)B．y＝－x(0≤x≤4)C．y＝－x(－3≤x≤4)D．y＝－x(0≤x≤5)【解析】　注意到

83、AB

84、＝5，则满足到点A(0,0)，B(－