高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1 不等式的性质学案 北师大版选修4-5

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1、§1　不等式的性质1．理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义，掌握求差比较法和求商比较法．2．掌握不等式的性质，并能进行证明．3．会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式．1．实数大小的比较(1)求差比较法．①a＞b⇔______；②______⇔a－b＜0；③a＝b⇔______．判断两个实数a与b的大小归结为判断它们的差a－b的符号，至于差究竟是多少则是无关紧要的．(2)求商比较法．当a＞0，b＞0时，①＞1⇔______；②______⇔a＜b；③＝1⇔______．答案：(1)①a－b＞0　②a＜b　③a－b＝0　(2)①a＞b　②＜1　③

2、a＝b【做一做1－1】比较大小：x2＋3__________3x(其中x∈R)．【做一做1－2】比较1816与1618的大小．2．不等式的性质(1)性质1：如果a＞b，那么______；如果b＜a，那么______．(2)性质2：如果a＞b，b＞c，那么______．(3)性质3：如果a＞b，那么a＋c＞______．推论：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞______．(4)性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc．推论1：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞____．推论2：如果a＞b＞0，那么a2____b2．推论3：如果

3、a＞b＞0，那么an____bn(n为正整数)．推论4：如果a＞b＞0，那么____(n为正整数)．(1)引导学生掌握性质的证明方法，举反例是证明命题错误的主要方法，证明过程体现数学的严谨性．(2)特别注意性质4使用的前提，不等号方向取决于c的符号．【做一做2－1】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c．(2)如果a＞b，那么＞．【做一做2－2】若a＞b＞c，则下列不等式成立的是(　　)．A．＞B．＜C．ac＞bcD．ac＜bc答案：1．(1)①a－b＞0　②a＜b　③a－b＝0　(2)①a＞b　②＜1　③a＝b【做一做1－1】＞　(x2＋3)－3

4、x＝x2－3x＋3＝2＋3－＝2＋≥＞0，即x2＋3＞3x．【做一做1－2】分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用求商的方法．解：＝16·＝16·16＝16，∵∈(0,1)，∴16＜1．∵1816＞0,1618＞0，∴1816＜1618．2．(1)b＜a　a＞b　(2)a＞c　(3)b＋c　b＋d　(4)＞　＜　bd　＞　＞　＞【做一做2－1】分析：从不等式的性质找依据，与性质相符的为真，与性质不相符的为假．解：(1)真命题．理由：根据不等式的性质3，由a＞b，可得a＋(－c)＞b＋(－c)，即a－c＞b－c．(2)假命题．理由：由不等式的性质4可知，如果a＞b，c＜0，则＜

5、，即不等式的两边同乘以一个数时，必须明确这个数的正负．【做一做2－2】B　∵a－c＞b－c＞0，∴＜．1．比较两个实数的大小剖析：比较两个实数a，b的大小，可以转化为a，b的差与0的大小比较，这种比较大小的方法称为求差比较法．它的主要步骤是：(1)作差；(2)变形(分解因式，配方等)；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中最关键的是第(2)步，变形要有利于判断差的符号才行．比较两个实数a，b的大小，也可以转化为a与b的商与1的大小比较，这种比较大小的方法称为求商比较法．它的主要步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)下结论．其中最关键的是第(3)步，在

6、第(4)步中要注意不等号的方向，不等号的方向受分母的符号的影响．2．不等式和等式的基本性质的区别与联系剖析：区别：在等式的两边同乘以或除以同一个数(除数不为0)时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时会出现两种情况：若这个数为正数，则不等号方向不变，若这个数为负数，则不等号方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，对等式(或不等式)两边形式的变化相同，讨论的都是两边同时加上或减去，同时乘以或除以(除数不为0)同一个数时的情况．题型一　利用作差法比较大小【例1】比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．分析：此题为两个代数式比

7、较大小，可先作差，然后展开，合并同类项后，判断差值的正负．反思：利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为数的运算符号问题．作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要．如本题，只需看差－7的正负即可．题型二　利用作商法比较大小【例2】已知a＞b＞c＞0，比较a2ab2bc2c与ab＋cbc＋aca＋b的大小．分析：用求差比较法不易变形，所以用求商比较法．反思：用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的