2018-2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.2 不等式的性质学案 北师大版选修4-5

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1、1.2　不等式的性质学习目标　1.理解不等式的性质，并掌握不等式的性质.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题．知识点　不等式的性质(1)性质1(对称性)：如果a>b，那么bb.(2)性质2(传递性)：如果a>b，b>c，那么a>c.(3)性质3(加法性质)：如果a>b，那么a＋c>b＋c.①移项法则：如果a＋b>c，那么a>c－b.②推论(加法法则)：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(4)性质4(乘法性质)：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

2、如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.②推论2(平方法则)：如果a>b>0，那么a2>b2.③推论3(乘方法则)：如果a>b>0，那么an>bn(n为正整数)．④推论4(开方法则)：如果a>b>0，那么>(n为正整数).类型一　不等式的性质的应用例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a＞b＞0，则＜；(2)若c＞a＞b＞0，则＞；(3)若＞，则ad＞bc；(4)设a，b为正实数，若a－＜b－，则a＜b.解　(1)正确．因为a＞b＞0，所以ab＞0.两边同乘以，得a·＞b·，得＞.(2)正确．因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b，所以＞

3、＞0.又a＞b＞0，所以＞.(3)不正确．因为＞，所以－＞0，即＞0，所以或即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.(4)正确．因为a－＜b－，且a＞0，b＞0，所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－b)(ab＋1)＜0，所以a－b＜0，即a＜b.反思与感悟　(1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧①要判断一个命题为真命题，必须严格证明；②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果．其中，举反例在解选择题时用处很大．(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项①倒数

4、法则要求两数同号；②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．跟踪训练1　下列命题中正确的是________．(填序号)①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么＜；②若a，b∈R，则a2＋b2＋5≥2(2a－b)；③若a，b∈R，a＞b，则a2＞b2；④若a，b∈R，a＞b，则＞.答案　②④解析　对于①，∵c＞d＞0，∴＞＞0，∴＞＞0，∴＞，∴①不对；对于②，a2＋b2＋5－(4a－2b)＝a2－4a＋b2＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2＋5≥2(2a－b)，∴②对；对于③，由于a＞b

5、不能保证a，b同时大于0，∴a2＞b2不成立，∴③不对；对于④，∵c2＋1＞0，∴由a＞b，可得＞，∴④正确．类型二　利用不等式的性质证明不等式例2　已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：＜.证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜＜.又0＜b＜a，∴＜.引申探究1．若本例条件不变，求证：＜.证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴0＜＜.∴＞＞0，∴＞，即－＞－，∴＜.2．若本例条件不变，求证：＜.证明　∵a＞b＞0，∴＞＞0.又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴＞＞0.∴＋＞＋＞0，即＞＞0，∴＞＞0，∴＜.反思与感悟

6、　进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练2　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b.证明　＋－(a＋b)＝＋＝＋＝(a－b)(a＋b)·＝(a－b)2(a＋b)，∵a＞0，b＞0，∴(a－b)2(a＋b)≥0，即＋≥a＋b.类型三　利用不等式的性质求代数式范围例3　设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定

7、系数)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b，于是，得解得∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.反思与感悟　(1)应用同向不等式相加性质时不能多次使用，否则范围将会扩大．(2)整体代换思想，是解这类问题常用的方法．跟踪训练3　已知①－1≤a＋b≤1，②1≤a－b≤3，求3a－b的取值范围．解　设3a－b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b.∴∴由①＋②×2，得－1＋2≤(a＋b)＋2(a－b)≤

8、1＋3×2，即1≤3a－b≤7.1．若a＜b＜0，则