高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1 不等式的性质教学案 北师大版选修.doc

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1、§1不等式的性质[对应学生用书P1]1．实数大小的比较求差法a>b⇔a－b>0；a0，b>0时，2．不等式的性质(1)性质1(对称性)：如果a>b，那么bb.(2)性质2(传递性)：如果a>b，b>c，那么，a>c.(3)性质3(加法性质)：如果a>b，那么a＋c>b＋c.①移项法则：如果a＋b>c，那么a>c－b.②推论(加法法则)：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(4)性质4(乘法性质)：如果a>b，c>0，那么ac>bc，如果a>b，c<0，那么ac

2、c.①推论1(乘法法则)：如果a>b>0，c>d>0，那么ac＞bd.②推论2(平方法则)：如果a>b>0，那么a2>b2.③推论3(乘方法则)：如果a>b>0，那么an>bn(n为正整数)．④推论4(开方法则)：如果a>b>0，那么a>b(n为正整数)．1．怎样比较两个代数式的大小？提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小．2．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？提示：不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如：a>

3、b且cb且－c>－d，⇒a－c>b－d.3．若a>b>0，当n<0时，an>bn成立吗？提示：不成立，如当a＝3，b＝2，n＝－1时，3－1＝<＝2－1.[对应学生用书P1]比较大小[例1]　(1)比较a4－b4与4a3(a－b)的大小．(2)设a＞0，b＞0，求证：aabb≥(ab).[思路点拨]　本题考查求差比较法及求商比较法在比较代数式大小中的应用，同时考查了运算及转化能力，解答此题(1)需要用求差的方法比较，解答(2)需要用求商的方法证明．[精解详析]　(1)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－

4、4a3(a－b)＝(a－b)[(a＋b)(a2＋b2)－4a3]＝(a－b)(a3＋ab2＋ba2＋b3－4a3)＝(a－b)[(ab2－a3)＋(ba2－a3)＋(b3－a3)]＝(a－b)(a－b)[－a(a＋b)－a2－(a2＋b2＋ab)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[(a＋)2＋b2]≤0(当且仅当a＝b时取等号)．∴a4－b4≤4a3(a－b)．(2)证明：∵aabb＞0，(ab)＞0，∴＝a·b＝.①当a＝b时，显然有()＝1，②当a＞b＞0时，＞1，＞0，③当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0.由指数函数

5、的单调性，②③均有＞1.综上可知，对任意正数a，b，都有aabb≥(ab).比较大小的常用方法及步骤：1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0.一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．2．求商法：当a＞0，b＞0时，把比较a，b的大小转化为比较与1的大小关系，此即为作商比较法．理论依据是不等式的性质：若a＞0，b＞0，则≥1⇔a≥b，≤1⇔a≤b.一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．1．已知x≠0，求证：(x2－1)2＜x4＋x2＋1.证明：(x2－1)2－(x4＋x2＋1)＝

6、x4－2x2＋1－x4－x2－1＝－3x2＜0，∴(x2－1)2＜x4＋x2＋1.2．设a>b>0，求证：>.证明：法一：－＝＝>0，所以原不等式成立．法二：∵a>b>0，故a2>b2>0.故左边>0，右边>0.∴＝＝1＋>1.∴原不等式成立.利用不等式的性质辨别不等式的正误[例2]　对于实数a，b，c判断下列命题的真假．(1)若a>b，则acbc2，则a>b；(3)若aab>b2；(4)若a

7、a

8、>

9、b

10、；(5)若c>a>b>0，则>.[思路点拨]　本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力

11、．解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断．[精解详析]　(1)由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系，故该命题是假命题．(2)由ac2>bc2知c≠0，而c2>0，∴a>b，故该命题是真命题．(3)⇒a2>ab；又⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，故该命题是真命题．(4)两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大，故该命题是真命题．(5)⇒0

12、一个结论时只需举一个反例即可；有时也可采用特殊方法比较判断．3．若a＞b＞c，则下面不等式中一定成立的是(　　)A．a

13、c

14、＞b

15、c

16、　　　　　　　B．ab＞acC