高中数学 第1章 不等关系与基本不等式 1.5 不等式的应用学案 北师大版选修.doc

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1、§5　不等式的应用1．理解不等式的性质、平均值不等式；掌握不等式的解法．(重点)2．能利用不等式解决一些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理　不等式应用的类型及步骤阅读教材P23～P24，完成下列问题．1．不等式的应用大致分为两类(1)利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围．(2)实际问题中建立不等式(或函数)模型，解决简单的实际问题．2．解不等式应用问题的四个步骤(1)审题，必要时画出示意图．(2)建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量的不等关系．(3)利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号．(4)作

2、出问题结论．填空：(1)不等式

3、2x－1

4、>x的解集为________．(2)长为2米的木棍，截断围成矩形，其矩形的最大面积为________．(3)若a>b>c且a＋b＋c＝0，则a的符号为________，c的符号为________．【解析】　(1)

5、2x－1

6、>x等价于2x－1>x或2x－1<－x，即x>1或x<，所以解集为.(2)设矩形的长为x，宽为y，则2x＋2y＝2，即x＋y＝1，所以面积S＝xy≤＝，故最大面积为.(3)由a>b>c且a＋b＋c＝0知3a>a＋b＋c＝0，即a>0,3c

7、1)　(2)　(3)正　负[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]不等式解法的应用　已知0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则(　　)A．－1＜a＜0B．0＜a＜1C．1＜a＜3D．3＜a＜6【精彩点拨】　【自主解答】　由(x－b)2＞(ax)2，得x2(1－a2)－2bx＋b2＞0.若恰有3个整数解，必须满足1－a2＜0，即a＞1或a＜－1(舍去)．设不等式对应方程两根为x1，x2，则

8、x1－x2

9、

10、＝＝＝＝.又不等式有3个整数解，∴2<≤3，解得b≥.由已知0

11、x＋3

12、－

13、x－1

14、≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)【解析】　对任意x∈R，均有

15、x＋3

16、－

17、x－1

18、≤

19、(x＋3)－(

20、x－1)

21、＝4，∴原不等式恒成立，只需a2－3a≥4.则a2－3a－4≥0，解得a≥4或a≤－1，∴实数a的取值范围是a≥4或a≤－1.【答案】　A利用不等式解决实际问题中的大小问题　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，则甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】　本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力．【自主解答】　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意

22、有：m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝，∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0，即t10)，已知船在静水中的速度为v2(v2>0)，试比较v1和v2的大小．【解】　设水流速度为v(v>0)，则船在流水中

23、在甲乙间来回行驶一次的时间t＝＋＝，∴平均速度v1＝＝.∵v1>0，v2>0，∴＝＝＝1－<1，∴v1

24、点拨】　(1)由题可知总费用由旧墙的维修费及新墙的造价构成，故先弄清旧墙需维修的长度及新墙需建的长度，然后易知y与x的关系式；(2)用均值不等式可求总费用的最小值．【自主解答】　(1)设矩形的