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1、习题11.11.求下列极限:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12).解（1）。(2)。(3)。(4)。(5)因为，所以。(6)。(7)。(8)(9)。(10)。(11)因为，所以。(12)。2.求下列极限:(1);(2);(3);(4).解(1)。(2)。(3)。(4).3.利用夹逼准则证明：;证明由于,而，，由夹逼定理知结论成立.4.利用单调有界收敛准则证明数列的极限存在,并求出该极限.证明根据题意,,显然.又.假设时,,则当时,,故数列有界.根据单调有界收敛准则,数列的极限
2、存在.设,对两边取极限,得,即,解得或(舍去).于是.5.根据第1章阅读材料1中定义5,给出数列收敛于的精确定义:若对于,正整数,使得当时,有,则称当时数列的极限为,记为.在数列中任意选取无穷多项,按原来在中的次序排列,这样得到的一个数列称为原数列的子数列(或子列).用数列极限的精确定义证明:(1)若数列收敛于,则它的任一子列也收敛,且极限也是.(2)若奇数项构成的子列和偶数项构成的子列都收敛于,则数列也收敛于.证明（1）设数列是数列的子列.由,故,正整数,使得当时,恒有.取,则当时,,于是,即.(2)因为,所以,正整数,使得当时,恒有.
3、又因为,所以,正整数,使得当时,恒有.取,则当时,,同时成立.再取，则当时,，故。习题11.21.写出下列级数的一般项:(1);(2);(3);(4).解(1)。(2)根据级数一般项的特征，得。(3)根据级数一般项的特征，得(4)根据级数一般项的特征，得.2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性:(1);(2);(3).解(1)因为，所以原级数发散.(2)因为,所以原级数发散.(3)因为，，所以原级数收敛.3.利用等比级数和调和级数的收敛与发散性质以及级数的收敛性质,判别下列级数的收敛性：(1);(2);(3);(4);(5);(
4、6).解(1)因为，而调和级数发散，所以级数发散。(2)因为，所以级数发散。(3)，因为公比，所以等比级数收敛。(4)因为等比级数收敛，而级数发散，所以级数发散。(5)因为等比级数与收敛，，所以级数收敛。(6)因为，所以级数发散.4.求级数的和.解由于，而，所以原级数收敛，和为。5.设级数收敛而级数发散,证明级数发散.证明反证法。假设级数收敛，又已知级数收敛，所以根据级数的性质，知级数收敛，这与已知级数发散矛盾。故假设不真，级数发散。6.一皮球从距地面处垂直下落,假设每次从地面反弹后所达到的高度是前一次高度的,求皮球所经过的路程的总长度.
5、解总长度记为，皮球从地面反弹后再落地经过的路程是皮球从地面反弹后高度的二倍，故，即皮球所经过的路程的总长度为。习题11.31.用比较判别法或其极限形式判别下列级数的收敛性:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)由于而级数发散，故级数发散.(2)由于而级数收敛，故级数收敛.(3)由于而级数发散，故级数发散.(4)由于而级数收敛，故级数收敛.(5)由于而级数发散，故级数发散.(6)由于而级数收敛，故级数收敛.2.用比值判别法判别下列级数的收敛性:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8).解(1)由于故题
6、设级数发散.(2)由于故题设级数收敛.(3)由于故题设级数发散.（4）由于故题设级数收敛.(5)由于故题设级数收敛.(6)由于故题设级数发散.(7)由于故题设级数收敛.(8)当时，级数收敛；当时级数发散；当且时级数收敛，当且时级数发散.3.用根值判别法判别下列级数的收敛性:(1);(2);(3);(4).解(1)由于故题设级数收敛.(2)由于故题设级数收敛.(3)由于故题设级数发散.(4)由于故题设级数发散.4.判别下列级数的收敛性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1);(2);(3);(4);(5).解(1)由于发散，而，所以根据莱布
7、尼茨判别法，级数条件收敛.(2)由于所以级数收敛，故级数是绝对收敛.(3)由于所以故级数是发散.(4)由于级数的部分和数列，所以级数发散，而，所以根据莱布尼茨判别法，级数条件收敛.(5)原级数各项取绝对值后的级数为，由于收敛，故原级数绝对收敛.5.判别级数的收敛性.解因为所以级数发散.令则于是函数在区间上单调递减，从而,又因为，所以根据莱布尼茨判别法，级数条件收敛.6.讨论级数的收敛性.解由于故当时,级数绝对收敛;当时,由于故级数发散.习题11.41.求下列幂级数的收敛域:(1);(2)；(3);(4);(5);(6);(7);(8).解
8、(1)因为,所以收敛半径.当时,级数为交错级数,该级数收敛;当时,级数为,该级数收敛.因此,收敛域为.(2)因为,所以收敛半径.收敛域为.(3)因为,所以收敛半径.当时,级数为调和级数,该级数
