《中值定理》word版

《《中值定理》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、一.不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出他们所在的区间。解:由于在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且，所以由罗尔中值定理可知，使，同理使，使。显然它们都是方程的根，注意到方程为三次方程，它只能有三个根（包括实根、复根），现在已发现它的三个实根，故它们也是方程的全部根。二.若方程有一个正根，验证方程必有一个小于的正根。证明：设由于在上连续，在内可导，且根据罗尔定理，使得,即显然就是方程的一个小于的正根。三.若函数在区间（a，b）内具有二阶导数，且，其中，证明：在（x，x）内至少有一点，使得。证明：由于在[]

2、上连续，在（x，x）内可导，且，根据罗尔中值定理可知，使，同理使。又函数在[]上连续，在（）内可导且，根据罗尔定理：使即.四．验证方程只有一个正根。证明：设,由介值定理可知，存在一点，使,显然为方程的一个正根.假设方程还有一个正根，在[]上连续，在（）内可导，且，由罗尔定理知使得，即显示在实数范围这样的是不存在的，故原方程只有一个正根。七.证明：若函数在内满足关系式，且f（0）=，则。证明：作函数,故（常数），特别,得：C=1，所以1，即：.八.设在[a，b]上可导，（），证明存在使得证法1：设由得：。又在[a，b]上可

3、导，所以在[a，b]上可导，因此满足罗尔定理条件，所以存在，使得，即：.证法2：设及在[a，b]上可导且，满足柯西定理条件，所以存在使即：所以。九.证明当时，。证：设（1）在上连续,（2）在内可导，由拉格郎日定理可知，在内至少存在一点，使得即由于，因此，，所以四如果，试证，其中在之间。分析1：将两边同时除以得：继续变形得：于是左边刚好与柯西中值定理的形式相同.所以可以考虑用柯西中值定理去解。证法1：设应用柯西中值定理可知：五．应用麦克劳林公式，按乘幂展开函数。解：是6次多项式，计算出：故六.当时，求函数的阶泰勒公式。解：

4、（在和之间）七.求函数的阶麦克劳林公式。解:可表示为八．求函数的拐点。当时，又当时，不存在但注意到时曲线上的对应点为边界点，因为曲线上的横坐标都大于等于0，所以点不能是拐点，故曲线上可能是拐点的点为时的点及时的点,经过验证二者都是拐点。九．问及为何值时，点为曲线的拐点？解：令得由于，在的领域内，在的两侧变号，所以，这时对应的要使为拐点，则解得：十．选择题（1）设在上单调增加，可导，则（）也在上单调增加。A；B；C；D。分析：利用单调函数复合关系的性质知，为单调增函数的奇次幂，仍为单调增，故选择C十一.求函数的最大值与最小

5、值。解：在上，边界点为.令解得驻点为。最大值为,最小值为十二.求函数最大值与最小值解：因为，所以令，所以得.当时，；当时，为函数的极大值点，又函数没有极小值点，此极大值点也为最大值点，函数的最大值为