高三数学大一轮复习 平面向量的综合应用导学案

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1、专题研究平面向量的综合应用题型一向量与平面几何例1.已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________．练习1.(1)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．(2)如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

2、

3、＝1，则·＝(　　)A．2　B.C.D.题型二向量与三角函数例2.已知在锐角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos()取最大值时，B的大小．练习2.在

4、△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为对应的三条边，

5、＋

6、＝2，求·的取值范围．题型三向量与解析几何例3.已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最小值．练习3.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2　　　　　　　B．3C．6D．8三角形的“心”的向量表示及应用1．三角形各心的概念介绍重心：三角形的三条中线的交点；垂

7、心：三角形的三条高线的交点；内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．2．三角形各心的向量表示(1)O是△ABC的重心⇔＋＋＝0；(2)O是△ABC的垂心⇔·＝·＝·；(3)O是△ABC的外心⇔

8、

9、＝

10、

11、＝

12、

13、(或2＝2＝2)；(4)O是△ABC的内心⇔·(－)＝·(－)＝·(－)＝0.注意：向量λ(＋)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线)例1　若O为△ABC内一点，

14、

15、＝

16、

17、＝

18、

19、，则O是△ABC的(　　)A．内心　　　　　　B．外心C．垂心D．重心例2.点P是△ABC所在

20、平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的A．外心B．内心C．重心D．垂心(　　)例3.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)A．外心　　　　B．内心C．重心D．垂心例4.点P是△ABC所在平面内任一点．求证：G是△ABC的重心⇔＝(＋＋)．例5　已知向量，，满足条件＋＋＝0，

21、

22、＝

23、

24、＝

25、

26、＝1，求证：△P1P2P3是正三角形．练习：1．若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(－)·(－)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　)A．外心B．内心C．重心D．垂心2．

27、已知O，N，P在△ABC所在平面内，且

28、

29、＝

30、

31、＝

32、

33、，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心3．在△ABC中，若动点P满足2＝2－2·，则P点轨迹一定通过△ABC的(　　)A．外心B．内心C．重心D．垂心4．已知非零向量与满足(＋)·＝0且·＝，则△ABC为(　　)A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形有关数量积的最值问题例1.已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，则a·b的最大值为________．例2.设a，b，c是单位向量，且a

34、·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)A．－2　　　　B.－2C．－1D．1－例3.已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足

35、c－a－b

36、＝1，则

37、c

38、的取值范围是(　　)A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．[1，＋2]例4.(2013·浙江)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．例5.(2015·江苏盐城模拟)在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．例6.(2013·上海)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N

39、分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．