高三数学大一轮复习 5.1向量的概念及运算导学案

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1、5.1向量的概念及线性运算【考纲目标】1．理解平面向量的概念、两个向量相等的含义及向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法及向量数乘的运算并理解其几何意义．一、自主学习要点1.向量的有关概念(1)向量的定义：既有又有的量叫做向量．(2)向量的长度：表示的的长度，即的大小叫做的长度或称为的模，的向量叫做零向量，记作0,的向量，叫做单位向量．(3)平行向量：方向或的向量叫做平行向量．规定：0与任何向量平行，平行向量也叫做．(4)相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.(5)相反向量：模相等方向相反的向量叫

2、做相反向量．要点2．向量运算(1)加减法法则：(2)运算律：a＋b＝，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)①＋＝，＋＝0，－＝，②＋＋…＋An－1An＋＝.③

3、

4、a

5、－

6、b

7、

8、≤

9、a±b

10、≤.(4)实数与向量的积(数乘)．①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，λa与a平行．规定：_______，当λ___0时，λa的方向与a的方向；当λ____0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.②运算律：λ(μa)＝，(λ＋μ)a＝，λ(a＋b)＝.要点3.向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件

11、是_____________________.二、合作，探究，展示，点评题型一向量的基本概念例1　判断下列各命题是否正确：(1)单位向量都相等；()(2)

12、a

13、与

14、b

15、是否相等，与a，b的方向无关；()(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；()(5)两向量a，b相等的充要条件是

16、a

17、＝

18、b

19、且a∥b.()思考题1：判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．(1)若向量a与b同向，且

20、a

21、>

22、b

23、，则a>b；(2)由于零向量方向不

24、确定，故零向量不能与任意向量平行；(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．题型二向量的线性运算例2　(1)如图所示，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　)A.－B.＋C.＋D.－(2)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于________(用向量b，c表示)．思考题2：(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)A．2－B．－＋2C.＋D．－＋(

25、2)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0(3)已知D，E，F分别是△ABC边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.题型三共线向量定理及应用例3　设a，b是不共线的两个非零向量，(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．思考题3：(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D(2)已知

26、向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　　)A．aB．bC．cD．0例4　设，不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.思考题4：(1)在△ABC中，＝2，＝＋λ，则λ＝________.(2)如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．三、知识小结1．正确区别向量与数量．确定向量需要同时确定其“大小”和“方向”，向量可以用有向线段表示．数量的一些运算性质规律对于向量并不一定成立．2．注

27、意0与数0的区别，0≠0，零向量是有方向的，它的方向是任意的.0＋a＝a,0·a＝0，λ·0＝0，a－a＝0，注意数量积0·a＝0，不能写成0·a＝0.自助餐1．下列命题中是真命题的是(　　)①对任意两向量a，b，均有：

28、a

29、－

30、b

31、<

32、a

33、＋

34、b

35、；②对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；③在△ABC中，＋－＝0；④在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；⑤－＝.A．①②③　　　　　B．②④⑤C.③④D．②③2．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)A．a＝b　　　　　　B．a＝－

36、bC．

37、a

38、＝

39、b

40、D．以上都不对3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)A.B.C.D.4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)A.B．2C．3D．45．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若