2016高考数学大一轮复习 5.1平面向量的概念及线性运算试题 理 苏教版

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1、第五章平面向量第1讲　平面向量的概念及线性运算一、填空题1．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若－3＋2＝0，则等于________．解析由已知得，－＝2(－)，∴＝2，∴＝2.答案22．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.解析依题意得a－c＝(3－k，－6)，由(a－c)∥b得－6＝3(3－k)，k＝5.答案53．在▱ABCD中，点E、F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析　如图，设＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，＝＋＝a＋b，所以＋

2、＝(a＋b)＝，即＝＋.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案　4．在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足＋＋＝0.＝λ，则实数λ的值为________．解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.答案　－25．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c，都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是________．解析本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a，b不共

3、线，当a∥b，即向量a，b共线时，满足3m－2＝2m，解得m＝2.故a，b不共线时，m∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．答案(－∞，2)∪(2，＋∞)6．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝________.解析在△CEF中，有＝＋，因为E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的中点，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－.答案－7．在△AOB中，已知OA＝4，OB＝2，点D是AB的中点，则·＝________.解析特值法：设△ABO为直角三角形，建立坐标系如图，·＝(＋)·＝(＋)·(－)＝(－)＝－6.答案－68.如图所示，在△ABC中，＝，＝

4、3，若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－＋×＝－＋(＋)＝－＋＝－a＋b.答案　－a＋b9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足

5、－

6、＝

7、＋－2

8、，则△ABC的形状为________．解析　＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴

9、＋

10、＝

11、－

12、.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案　直角三角形10．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于________．解析∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②由①得

13、：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，∴，即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.答案0二、解答题11．如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，＝，＝，用a、b表示、、.解＝a＋b，＝a＋b，＝a－b12.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2，因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在λ、μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而＝

14、＋＝2e1＋3e2，所以所以所以＝，所以＝，即AP∶PM＝4∶1.13．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.(1)解　因为＋＝2，又2＝－，所以＋＋＝－＋＝0.(2)证明　因为＝(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，所以有且只有一个实数λ，使＝λ.又＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a、b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.14.如图所示，已知△AB

15、C的面积为14cm2，D，E分别是AB，BC上的点，且＝＝2，求△APC的面积．解　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b.因为点A，P，E和点D，P，C均三点共线，所以存在λ和μ，使得＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.又因为＝＋＝a＋μb，所以有解得λ＝，μ＝，所以S△PAB＝S△ABC＝×14＝8(cm2)，S△PBC＝14×＝2(cm2)，故S△APC＝14－8－2＝4(cm2).