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《高一数学 3.2等差数列（备课资料） 大纲人教版必修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、●备课资料参考例题［例1］已知等差数列{an}中，a15=33,a45=153,试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.分析：这是一个探索性问题，但由于在条件中已知道两项的值，所以，在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一：由通项公式，得由217=－23+4(n－1)，得n=61.解法二：由等差数列性质，得a45－a15=30d=153－33,即d=4又an=a15+(n－15)d,217=33+4(n－15),解得n=61.解法三：由等
2、差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点由于P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上，故有，解得n=61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具体问题具体分析.［例2］已知数列{an}为等差数列，a3=,a7=－,求a15的值.解法一：利用通项公式，设数列{an}的首项为a1,公差为d则,解之得a15=a1+14d=+14×(－)=－解法二：利用等差数列的性质a7=a3+4d把已知条件代入,得：d=
3、－∴a15=a7+(15－7)d=－.解法三：∵{an}为等差数列，∴a3,a7,a11,a15……也成等差数列由a3=,a7=－，知上述数列首项为，公差为－2∴a15=+(3－1)·（－2）=－［例3］两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？分析：显然，已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{an}，这样问题就转化为一个研究数列{an}的项数问题了.解法一：设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn},c1=11,又数列5，8，11，……的通项公式为an=3n+2,数列
4、3，7，11，……的通项公式为bn=4n－1.∴数列{cn}为等差数列，且d=12.∴cn=12n－1又∵a100=302,b100=399,∴cn=12n－1＜302得n≤25,可见已知两数列共有25个相同的项.解法二：∵an=3n+2,bn=4n－1,设an=bm，则有3n+2=4m－1(n,m∈N*)，即n=m－1(n,m∈N*)要使n为正整数，m必须是3的倍数.设m=3k(k∈N*),代入前式得n=4k－1,又∵1≤3k≤100,且1≤4k－1≤100,解得1≤k≤25,∴共有25个相同的项.［例4］一个首项为23，公差为整数
5、的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A.－2B.－3C.－4D.－5分析：由得：－4.6＜d＜－答案：C●备课资料一、参考例题［例1］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为x－d、x、x+d,则,解得x=5,d=±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.［例2］已知数列{an}为等差数列，a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数
6、列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2+3=5项，原数列的第三项是新数列的第3+2×3=9项.……原数列的第n项是新数列的第n+(n－1)×3=4n－3项.（1）当n=12时，4n－3=4×12－3=45,故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n－3=29,解得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项.评述：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项
7、之间插入m个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为，原数列的第n项是新数列的第n+(n－1)m=[(m+1)n－m]项.［例3］在等差数列{an}中，若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28，求{an}的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为an=a1+(n－1)d,则,①②即①代入②得（a1+2d）(a1+12d)=7③∵a1=4－7d,代入③，∴（4－5d）(4+5d)=8，即16－25d2=7,解得d=±.当d=时，a1=－,an=－+(n－1)·=；当d=－时，a1=,an=+(n
8、－1)·（－）=－.分析二：视a3,a8,a13作为一个整体，再利用性质：若m+n=p+q,则am+an=ap+aq解题.解法二：∵a3+a13=a8+a8=2a8,又a3+a8+a13=12，故知a8=4代入已知，得,
