高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）3.4.1 三角函数的周期性以及函数y＝asinx，y＝sinωx的图象与性质精品导学案 湘教版必修2

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1、3.4.1　三角函数的周期性以及函数y＝Asinx，y＝sinωx的图象与性质学习目标重点难点1．知道什么是周期函数，什么是函数的周期以及最小正周期；2．能说出函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的最小正周期；3．能分析y＝Asinx，y＝sinωx的图象与y＝sinx图象的关系；4．会解决函数y＝Asinx，y＝sinωx的性质问题.重点：周期函数的定义以及正弦函数、余弦函数、正切函数的周期．分析函数y＝Asinx，y＝sinωx的图象与性质；难点：周期函数的定义；疑点：函数y＝Asinx，y＝sinω

2、x的图象与函数y＝sinx图象的关系.1．三角函数的周期性(1)一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x)，则这个函数y＝f(x)称为周期函数，T称为这个函数的一个周期．如果周期函数y＝f(x)的所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为这个函数的最小正周期，我们也常常将“最小正周期”简称为“周期”．(2)y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(3)y＝cosx是周期函数，2kπ(k

3、∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)y＝tanx是周期函数，kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期，最小正周期是π.预习交流1能否由sin＝sin，sin＝sin等说明是y＝sinx的周期？提示：不能，周期函数中的定义中应要求对定义域中的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，如果只有个别x的值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说f(x)的周期为T.预习交流2所有的周期函数都具有最小正周期吗？提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何

4、值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．2．函数y＝Asinx(A＞0，A≠1)的图象与性质(1)一般地，对任意A＞0，A≠1，函数y＝Asinx的图象可以由y＝sinx的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标乘以A得到．(2)函数y＝Asinx的周期是2π，值域是[－A，A]，最大值和最小值分别为A和－A．预习交流3函数y＝Asinx(A＞0，A≠1)的奇偶性、单调区间

5、是怎样的？提示：函数y＝Asinx(A＞0，A≠1)仍然是奇函数，它的单调区间与y＝sinx的单调区间也完全相同．3．函数y＝sinωx(ω＞0，ω≠1)的图象与性质(1)函数y＝sinωx(ω＞0，ω≠1)的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的纵坐标不变，横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的得到．(2)函数y＝sinωx(ω＞0，ω≠1)的周期是T＝，值域为[－1,1]．预习交流4你能由周期函数的定义说明y＝sinωx(ω＞0，ω≠1)的周期为什么是吗？提示：由于sin(ωx＋2π

6、)＝sinωx，即sin＝sinωx，因此y＝sinωx的周期为.预习交流5若对于函数f(x)定义域中的每个值x，都有f(2x＋T)＝f(2x)，能否说f(x)的周期为T?提示：不能．从周期函数的定义式f(x＋T)＝f(x)可知，自变量x本身增加的常数才是周期．当f(2x＋T)＝f(2x)时，有f＝f(2x)，所以f(x)的周期不是T，而是.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y＝－3sinx；(2)y＝cos5x

7、；(3)y＝3tan3x.思路分析：利用三角函数的周期以及周期的定义求解．解：(1)由于－3sinx＝－3sin(x＋2π)，所以y＝－3sinx的周期T＝2π；(2)由于cos5x＝cos(5x＋2π)＝cos，所以y＝cos5x的周期T＝；(3)由于3tan3x＝3tan(3x＋π)＝3tan，所以y＝3tan3x的周期T＝.1．函数y＝cos(－4x)的最小正周期为__________．答案：解析：y＝cos(－4x)＝cos4x，而cos4x＝cos(4x＋2π)＝cos，所以函数的最小正周期为.2．已知

8、y＝2sinωx(ω＞0)的周期为4π，则ω＝__________.答案：解析：依题意应有＝4π，所以ω＝.一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为.二、三角函数的图象变换画出函数y＝2sinx的图象，并说明由这个函数的图象怎样得到函数y＝sinx的图象？思路分析：利用五点作图法画函