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《高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理课堂导学案新人教a版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.1平面向量基本定理课堂导学三点剖析1.平面向量基本定理【例1】如右图所示，在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=a,=b,以a,b为基底表示、、、.思路分析：本题考查用两已知向量表示未知向量.由于=b，这样可表示，又=b，这样又可表示，进一步可表示MH，进一步表示.解：由于BF=BC=AD.∴=b.在△ABF中,=+=a+b;又∵BF=MC=BC，∴FM=BC.∴=b.则=+=a+b+b=a+b.又∵AH=HD，∴=b.∴=-=b-(a+b)=-a-b.又∵HD=b,∴=-a-b+
2、b=-a+b.温馨提示根据平面向量基本定理表示向量时，如果所给向量无法直接用基底进行表示时，可先将目标向量分解成可以用基底表示的向量，再进一步用基底表示.2.平面向量基本定理再理解【例2】设两非零向量e1和e2不共线.（1）如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1,-e2),求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.思路分析：本题主要考查向量基本定理和向量共线的条件.（1）可以将e1,e2看作一组基底表示我们需要的向量，如，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5e
3、1+5e2然后利用向量共线条件进行证明.（2）由于向量ke1+e2,e1+ke2都是用基底e1,e2表示出来的两个向量，既然两向量共线，就可以用共线条件得到（ke1+e2）=λ(e1+ke2),解出k值即可.（1）证明：∵=e1+e2,+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,∴、BD共线.又有公共点B，∴A、B、D三点共线.（2）解：∵ke1+e2与e1+ke2共线，∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),则（k-λ）e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线，∴只能有则k=±1.温馨
4、提示题目中已给出一组基底e1,e2，则该平面中任一向量都可以与之建立联系，以该基底为纽带，可以沟通不同向量之间的联系.本题要证三点共线,由这三点中任意两点确定两个向量.然后用基底e1,e2表示，并依据向量共线的条件来证明这两个向量共线.又这两个向量有公共点，于是证三点共线.3.平面向量基本定理的应用【例3】如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是（）A.若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1、λ2∈RC
5、.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内，λ1、λ2∈RD.对于平面α内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对思路分析：要深刻理解平面向量基本定理.A正确；B错，这样的a只能与e1,e2在同一平面内，不能是空间任一向量.C错，λ1e1+λ2e2在α内.D错，这样的λ1,λ2是唯一的，而不是无数对，故选A.答案：A温馨提示应用平面向量基本定理要注意以下几点：（1）e1,e2是同一平面内的两个不共线向量；（2）基底的选取不唯一；（3）该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示，而且这种表示是唯
6、一的.各个击破类题演练1如右图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC边上的中点，且BC=3AD，设=a,=b，以a、b为基底表示、、.解：∵AD∥BC且AD=BC，∴=b,==b.∵=,∴=b，∴+=-+(+)=--+=-b-a+b=b-a，=--=-b-(b-a)=-b+a.变式提升1如右图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.解：设=a,=b,则由M、N分别为DC、BC的中点可得：=b，=a.从△ABN和△ADM中可得：①×2-②
7、,得a=(2d-c).②×2-①,得b=(2c-d).即：=(2d-c),=(2c-d).类题演练2e1,e2是两个不共线向量，且=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，由k的值为.解析：=++=2e1+ke2-e1-3e2+2e1-e2=3e1+(k-4)e2.∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ使=λ,即3e1+(k-4)e2=λ(2e1+ke2).∴∴k=-8.答案：-8变式提升2(2005山东理,7)已知向量a、b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的
8、三点是（）A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D解析：=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2.∴A、B、D共线.答案：A类题演练3下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：平面内向量的基底不唯一，
