2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教A版必修4

《2018年秋高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教A版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.3.1　平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考：(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？(2)平面向量的基底是唯一的吗？[提示]　(1)不能．

2、基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围[0，π]特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　)(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(

3、　　)(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　)[解析]　(1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示．(3)错误．当e1与e2共线时，结论不一定成立．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．若△ABC是等边三角形，则与的夹角的大小为________．120°　[由向量夹角的定义知与的夹角与∠B互补，大小为120°.]3．如图231所示，向量可用向量e1，e2表示为________．图2

4、314e1＋3e2　[由图可知，＝4e1＋3e2.][合作探究·攻重难]用基底表示向量　(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：①＝－a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＝a.其中正确的结论的序号为________．(2)如图232，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.图232[思路探究]　用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．(1)①②③　[(1)如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确；＝＋＝

5、a＋b，②正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确；④＝＝－a，④不正确．](2)因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝a，＝＝＝b.＝＋＋＝－－＋＝－×b－a＋b＝b－a.[规律方法]　用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型：[跟踪训练]1．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于(　　)图233A．－a＋b　　　　　B．a－bC．a－bD．a＋bA　[∵＝，∴＝－.

6、又∵EF∥BC，∴＝＝(－)，∴＝＋＝－＋(－)＝－＝－a＋b.]向量的夹角　(1)已知向量a，b，c满足

7、a

8、＝1，

9、b

10、＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于________．(2)若a≠0，b≠0，且

11、a

12、＝

13、b

14、＝

15、a－b

16、，求a与a＋b的夹角.[思路探究]　可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120°　[作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(如图所示)，则a，b夹角为180°－∠C.∵

17、a

18、＝1，

19、b

20、＝2，c⊥a，∴∠C＝60°，∴a，b的夹角为120°.](2)[解]　由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b

21、为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵

22、a

23、＝

24、b

25、＝

26、a－b

27、，∴∠BOA＝60°.又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角是30°.[规律方法]　两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.[跟踪训练]2．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝AC，则与夹

28、角的大小为________．150°　[如图所示，因为∠A＝120°，AB＝AC，所以∠B＝30°，所以与的夹角为180°