高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版.doc

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1、2.3.1平面向量基本定理A级　基础巩固一、选择题1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2　　B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．答案：B2．在菱形ABCD中，∠A＝，则与的夹角为(　　)A.B.C.D.解析：由题意知AC平分∠BAD，所以与的夹角为.答案：A3．在

2、△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)A.(a＋b)B.a＋bC.a＋bD.(a＋b)解析：因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.答案：C54．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则(　　)A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝.答案：D5．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)A．－1或3B.C．－1或4D．3或

3、4解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，所以m＝，解得m＝－1或m＝3，选A.答案：A二、填空题6．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝________．解析：因为＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，所以(1＋λ)＝＋λ所以＝＋＝a＋b答案：a＋b7．已知

4、a

5、＝1，

6、b

7、＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．5解析：如图，作向量＝a，＝b，则＝a－b.由已知，得OA＝1，OB＝，OA⊥AB，所以△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB＝45°，所以a与b的夹角为45°.答案：45°8．如果3e1＋4e

8、2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．解析：由解得答案：3a－4b　3b－2a三、解答题9.如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且

9、

10、＝

11、

12、＝1，

13、

14、＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.在直角△OCD中，因为

15、

16、＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以

17、

18、＝4，

19、

20、＝2，故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10．如图所

21、示，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若＝a，5＝b，试以a，b为基底表示，，.解：＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.＝－＝＋－＝b＋a－a＝b－a.如图所示，连接DB，延长CG，交BD于点O，点G是△CBD的重心，故＝＋＝＋＝＋＝－b－＝－a－b.[B级　能力提升]1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1

22、e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案：B2．如图，向量＝，若＝x＋y，则x－y＝________．解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，所以x＝，y＝.所以

23、x－y＝－.5答案：－3．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线得，⇒所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.

24、所以，⇒所以c＝2a＋b.(3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.所以⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.5