高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理知识巧解学案新人教a版必修4

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1、2.3.1平面向量基本定理疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.误区警示(1)定理中的e1、e2是两个不共线向量；(2)a是平面内任一向量，且实数对λ1、λ2是唯一的；(3)平面内的任意两个不共线向量都可以作为一组基底.二、向量的夹角1.已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作=a，=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角.学法

2、一得(1)当向量a与b不共线时，a与b的夹角θ是指从同一点出发的向量a与b所成的角，θ∈(0°,180°).(2)当向量a与b共线时，若同向，则θ=0°；若反向，则θ=180°.综合可知：向量a与b的夹角θ∈［0°,180°］.2.a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.典题•热题知识点一平面向量的基本定理例1如图2-3-3，ABCD的两条对角线相交于点M，且=a，=b，用a、b表示、、和.图2-3-3思路分析：若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可以与之建立联系.以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系.解：在ABCD中，∵=+=a+b，=-

3、=a-b，∴==(a+b)=a-b，==(a-b)=a-b，==a+b，=-=a+b.方法归纳由平面向量基本定理可知，一个平面内所有向量都可表示为选定基底的线性组合，在用向量法证明几何问题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时就能够很容易地证明几何命题.例2如图2-3-4，OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a、b表示、、.图2-3-4解：∵=-=a-b，===a-b,∴=+=b+a-b=a+b.又∵=a+b，得==a+b.∴=-=a-b.例3已知梯形ABCD，AB∥CD，M、N是DA、BC的中点，设=e1、

4、=e2，以e1、e2为基底表示、、.思路分析：本题考查平面向量的基本定理，关键是找到、、与、之间的关系.解：(1)∵∥，∴存在唯一的实数k，使=k·，即=ke2(0＜k＜1).图23-5(2)由图2-3-5,可知=-=e1-e2，而=+=e1-e2+ke2=e1+(k-1)e2(0＜k＜1).(3)=(+)=(e2+ke2)=(k+1)e2(0＜k＜1).知识点二判定动点P在定直线AB上例4设、、OP是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且=+.证明：(1)由三点共线m、n满足的条件.若A、B、P三点共线，

5、则与共线，由向量共线的条件知存在实数λ使=λ，即-=λ(-)，∴=(1-λ)+λ.令m=1-λ，n=λ，则=m+n且m+n=1.(2)由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线.若=m+n且m+n=1，则=m+(1-m)，则-=m(-)，即=m.∴与共线.∴A、B、P三点共线.由(1)(2)可知，原命题是成立的.思考一下，若m=n=时，如何表示?P点在什么位置?方法归纳由上题证明可知：对直线AB上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式=(1-t)+t(*)，反之，对每一个数值t，在直线AB上都有唯一的一个点P与之对应；向量式(*)叫做直线AB的向量参数方程式，其

6、中实数t叫做参变数，简称参数.此结论为我们提供了判定动点P在定直线AB上的一种方法.当t=时，=(+)，此时P为线段AB的中点，这个公式就是线段AB的中点的向量表达式.知识点三向量的夹角例5试指出图2-3-6中向量的夹角.图2-3-6答案：(1)∠AOB=θ为两向量的夹角；(2)与的夹角为0°，两向量同向共线；(3)与的夹角为180°，两向量异向共线；(4)两向量的夹角为θ.知识点四利用向量证明三点共线例6设两非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1，-e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ke1+e2和e1+

7、ke2共线.思路分析：要证明A、B、D三点共线，需证存在λ，使=λ(e1+e2)即可.而若ke1+e2与e1+ke2共线，则一定存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2).解：(1)∵=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，∴、共线.又因两向量有公共点B，∴A、B、D三点共线.(2)∵ke1+e2与e1+ke2共线，∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，则(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线，只能有则k=±1.方法归纳证明三点共线，可结合题目条件，把e1与e2看作一组基底，从三点中任选两点组成的向量，用e