高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学案无答案新人教A版.docx

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1、§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1　平面向量基本定理学习目标　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一　平面向量基本定理思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案　能．依据是数乘向量和平行四边形法则．思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．梳理

2、　(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点二　两向量的夹角与垂直思考1　平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案　存在夹角，不一样．思考2　△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案　如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向

3、量a与b的夹角为120°.梳理　(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．(　×　)提示　只有不共线的两个向量才可以作为基底．2．零向量可以作为基向量．(　×　)提示　由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．(　×　)提示　基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作

4、为基底.类型一　对基底概念的理解例1　(2017·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2考点　平面向量基本定理题点　基底的判定答案　B解析　选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B.反思与感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么

5、平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．跟踪训练1　若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)A．e1－e2，e2－e1B．2e1－e2，e1－e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1＋3e2考点　平面向量基本定理题点　基底的判定答案　D解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量．根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合．类型二　用

6、基底表示向量例2　如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.考点　平面向量基本定理题点　用基底表示向量解　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，∴＝＝2，＝＝2，∴＝＝b，＝＝－＝－a.∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a.引申探究若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.解　取CF的中点G，连接EG.∵E，G分别为BC，CF的中点，∴＝＝b，∴＝＋＝a＋b.又∵＝＝，∴＝＝＝a＋b.又∵＝＝＋＝＋＝＋，∴＝＝b＋＝a＋b.反思与感悟　将不共线

7、的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2　如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.考点　平面向量基本定理的应用题点　利用平面向量基本定理求参数答案　解析　设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.类型三　向量的夹角例3　已知

8、a

9、＝

10、b

11、＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β

12、，求α＋β.考点　平面向