高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案新人教a版选修4

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1、三　排序不等式1．掌握排序不等式的推导和证明过程．2．会利用排序不等式解决简单的不等式问题．1．基本概念设a1＜a2＜a3＜…＜an，b1＜b2＜b3＜…＜bn是两组实数，c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的______和；S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的______和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的___

2、_和．2．排序原理或排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则__________________≤______________________≤____________________.当且仅当________________或____________________时，反序和等于顺序和．分析题目时要找到原始的两组实数．【做一做1－1】设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋anbn不小于________．【做一做1

3、－2】已知a，b，c为正数，P＝，Q＝abc，则P，Q的大小关系是(　　)A．P＞Q　B．P≥QC．P＜QD．P≤Q答案：1．反序　顺序　乱序2．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1　a1c1＋a2c2＋…＋ancn　a1b1＋a2b2＋…＋anbn　a1＝a2＝…＝an　b1＝b2＝…＝bn【做一做1－1】　a1an＋a2an－1＋…＋ana1【做一做1－2】　D　取两组实数(b2c，c2a，a2b)和(a，b，c)，则顺序和为ab2c＋abc2＋a2bc＝abc(a＋b＋c)，乱序和为b2c2＋a2c2＋a2b2，由排序不等式得abc(a＋b＋c)≥b2c2＋a2c

4、2＋a2b2.即abc≥.1．对排序不等式的证明的正确理解剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序

5、，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一构造数组利用排序不等式证明【例1】设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.分析：不等式的左边，可以分为数组ab，ac，bc和，，，排出顺序后，可利用排序原理证明．反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础．题型二需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况

6、【例2】设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.分析：解答本题时不妨先设定0＜a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．反思：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要限定一种大小关系．答案：【例1】　证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥.由排序原理，知ab×＋ac×＋bc×≥ab×＋ac×＋bc×，即所证不等式＋＋≥a＋b＋c成立．【例2】　解：不妨设0＜a≤b≤c，则a3≤b3≤c3.0＜≤≤，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·，①a3·＋b3·＋c3·≤a

7、3·＋b3·＋c3·.②将①②两式相加，得＋＋≤2(＋＋)，将不等式两边除以2，得＋＋≤＋＋.1．已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分别是(　　)A．132,6　　B．304,212C．22,6D．21,362设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则的