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《高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式例题与探究新人教b版必修2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x1)、B(x2),求线段AB中点的坐标.思路分析:结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解:设AB中点为O′(x),∵O′(x)是AB的中点,∴AO′=O′B.又∵A(x1)、B(x2),∴AO′=x-x1,O′B=x2-x.由x-x1=x2-x得x=,∴中点坐标为O′().绿色通道:这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x1)、B(x2),则线段AB中点O′的坐标为().变式训练1已知数轴上的两点A(x1)、
2、B(x2),C是线段AB的中点,D是线段AC的中点,求点C的坐标.解:根据中点坐标公式,由题意知C(),则D(),即D().例2根据下列条件,在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x,2)<1;(2)
3、x-2
4、>1;(3)
5、x-2
6、=1.思路分析:结合数轴,找出符合条件的点P(x)即可.解:如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x,2)<1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合,∴d(x,2)<1表示线段BC(不包括端点).(2)
7、x-2
8、>1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合,∴
9、x-2
10、>
11、1表示射线BO和射线CD(不包括顶点).(3)
12、x-2
13、=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,∴
14、x-2
15、=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道:题目给出的是一些不等式,但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形,从而体会数形结合的思想.变式训练2
16、x-2
17、+
18、x-3
19、的最小值是_________________.思路解析:
20、x-2
21、表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离,
22、x-3
23、表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离,那么
24、x-2
25、+
26、x-3
27、表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和,即
28、AC
29、+
30、CB
31、≤
32、AB
33、=
34、1.答案:1例3已知A(-2,3)、B(2,-4)两点,求d(A,B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解:∵x1=-2,x2=2,∴Δx=x2-x1=2-(-2)=4.又∵y1=3,y2=-4,∴Δy=y2-y1=(-4)-3=-7.∵d(A,B)=∴d(A,B)=.答:d(A,B)=.黑色陷阱:套用错误公式d(A,B)=.变式训练3已知点A(1,4)、B(4,0),在x轴上的点M与B的距离等于点A、B之间的距离,求点M的坐标.解:∵点M在x轴上,∴设M(a,0),则
35、a-4
36、==5.解得a=-1或a=9.∴M(-1,0)或M(9,0).例4用坐标法
37、证明定理:如果四边形ABCD是长方形,则对任一点M,等式AM2+CM2=BM2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二).证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系,设长方形ABCD的长为a、宽为b,图2-1-(1,2)-3则A(0,b)、B(0,0)、C(a,0)、D(a,b),设M(x,y),∴AM2+CM2=[(y-b)2+(x-0)2]
38、+[(y-0)2+(x-a)2]=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.又∵BM2+DM2=[(y-0)2+(x-0)2]+[(y-b)2+(x-a)2]=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,∴AM2+CM2=BM2+DM2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系,图2-1-(1,2)-4设A(a,b)、B(-a,b)、C(-a,-b)、D(a,-b)、M(x,y),则
39、MA
40、2+
41、MC
42、2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x2+y2+a2+b2),
43、MB
44、2+
45、MD
46、2=(x+a)2+(y-b)2+(x-
47、a)2+(y+b)2=2(x2+y2+a2+b2),∴AM2+CM2=BM2+DM2.绿色通道:建立坐标系时,应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择,整理过程的复杂程度不同,应该合理选择,以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1,1)、B(5,3)、C(0,3),求证:△ABC为直角三角形.证明:∵AB=,AC=,BC=显然有AB2+AC2=BC2.∴△ABC为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO中,底AB=2,腰AO=4,∠AOC=60°,试求:图2-1-(1,2)-5(1)A、B、C三点的坐标;
48、(2)梯形ABCO的面积S.解:(1)如图2-1-(