高中数学 第1章集合与函数概念 函数的基本性质同步精品学案 新人教a版必修1

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1、1.3.1单调性与最大(小)值1.函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间

2、．函数单调性的概念从以下四个方面理解：(1)定义中的x1，x2具有三个特征：①任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意用两个特殊值替换；②有大小，通常规定x1

3、有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间不包括这些点．2.函数单调性的判断与证明(1)函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．(2)函数单调性的证明方法：,依据定义进行证明．其步骤如下：①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1

4、向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以分情况讨论；④判定：依据定义得出结论．2.函数的最大(小)值设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；②②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.,那么，我们就称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．,注意以下三个问题：(1)首先M是一个函数值，它是值域的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解．(2)对于定

5、义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立．“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．(3)这两个条件缺一不可，若只有①，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有②.题型一　函数单调性的判断及证明下列函数在指定区间上为单调函数的是(　　)A.y＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞),B.y＝，x∈(1，＋∞),C.y＝x2，x∈R,D.y

6、＝

7、x

8、，x∈R分析　选择题的解题方法可以考虑图象法或特殊值法．解析　选项A中，由反比例函数图象知：y＝f(2,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是单调递减的，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调函数；选项C中，由二次函数y＝x2，x∈R的图象知，它不是单调函数；选项D中，取x1＝－1，x2＝1，x1

9、；说明不具备单调性的函数，可以取特殊值．求证函数f(x)＝x＋(a.,>0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．分析　利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明　(1)设01，所以<0，所以f(x1)－f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)．所以f(x)在(0，r(a.,)]上为减函数．(1)设≤x1

10、x2)．因为x1－x2<0，x1x2>a.,，所以<1，所以>0，所以f(x1)－f(x2)<0.所以f(x1)