2018版高考数学二轮复习 特色专题训练 专题02 破译函数中双变量问题 理

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1、专题02破译函数中双变量问题一、单选题1．已知函数，若成立，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求函数的最值即可.二、填空题2．已知f(x)＝(x＋1)3e－x＋1，g(x)＝(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围是_________

2、_．【答案】【解析】∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，即为f(x)max≥g(x)min.又f′(x)＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－1或2，且当x＜2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝，又g(x)min＝a，则a≤，故实数a的取值范围是(－∞，]．点睛：对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，3．若不等式x2－2y2≤cx(y－x)对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为__________

3、．【答案】点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.三、解答题4．已知函数（为常数）与轴有唯一的公关点．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，满足，证明：．【答案】（Ⅰ）当时，函数的递增区间为，递减区间为；当时，函数的递增区间为，无递减区间．（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，故由题意可知曲线与轴存在公共点，又，对a进行讨论分，四种情况

4、进行可得解（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．不妨设，因为，则，则有，整理得，利用基本不等式构建关于不等关系即可证得.②若，则函数的极小值为，符合题意；③若，则由函数的单调性，有，取，有．下面研究函数，，因为恒成立，故函数在上递增，故，故成立，函数在区间上存在零点．不符合题意．综上所述：当时，函数的递增区间为，递减区间为；当时，函数的递增区间为，无递减区间．点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用基本不等式来证明，考查了分类讨论的思想，属于中档题.5．已知函数(a为常数)有两个极值点．(1)求实数a的取值范围；(2)

5、设f(x)的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先求导数，转化为对应一元二次方程有两个正根，再根据实根分布列不等式组，解得实数a的取值范围；（2）分离参数转化为对应函数最值问题：最大值，再化简为a的函数，利用导数可得其值域，即得λ的最小值．试题解析：(1)f′(x)＝＋x－a＝(x＞0)，于是f(x)有两个极值点等价于二次方程x2－ax＋a＝0有两正根，设其两根为x1，x2，则，解得a＞4，不妨设x1＜x2，此时在(0，x1)上f′(x)＞0，在(x1，

6、x2)上f′(x)＜0，在(x2，＋∞)上f′(x)＞0.因此x1，x2是f(x)的两个极值点，符合题意．所以a的取值范围是(4，＋∞)．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.6．设函数f(x)＝emx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1,

7、1]，都有，求m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据m正负以及指数函数单调性讨论得导函数符号（2）先利用最值转化不等式恒成立得f(x)最大值与最小值的差不大于e-1,再利用导数研究函数单调性，解对应不等式得m的取值范围．试题解析：(1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x.若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0.若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x)＞0.所以，f(

8、x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋